Методика преподавания математики в начальной школе

Teacher.elementary.school

Правильно ли это заключение?

Данное умозаключение выполнено по схеме А(х) => В(х), В(125)

А(125)

В общем виде ее можно представить так: А(х) => В(х), В(а)

А(а)

Такой схемы из тех, которые нами рассмотрены, нет. Для определения, является ли это умозаключение дедуктивным, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке запишем правило так

ТА c ТВ, а Є ТА

а Є ТВ

Тв

. а

тТтттТ

Та

ТА – множество чисел, оканчивающихся на 5;

ТВ – множество чисел, делящихся на 5;

а = 125.

Мы изобразили на кругах Эйлера множества истинности ТА, ТВ и элемент а, который принадлежит множеству ТА. Но он может содержаться и в множестве ТВ, а может ему и не принадлежать. Значит, эта схема не гарантирует истинность умозаключения, т.к. оно не может быть дедуктивным. Данное умозаключение не является истинным, т.к. не выполнено по схеме.

Важно отметить, что

1) выполняя умозаключение, можно менять очередность посылок и начинать с заключения, а потом воспроизводить посылки;

2) если общие посылки рассмотренных в правилах дедуктивных умозаключений содержат более одной переменной, то это не нарушает их смысл.

Практическая работа

1. Определите логическую структуру умозаключений.

а) Во всяком прямоугольнике противоположные стороны равны. Четырехугольник АВСD – прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны.

б) Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны. Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.

в) Все числа кратные 2, являются четными. Число 17 не является четным. Следовательно, оно не делится на 2.

г) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и МНР имеют равные площади. Следовательно, они равны.

2. Закончите умозаключения так, чтобы они были дедуктивными.

а) Все квадраты – прямоугольники. Все прямоугольники – многоугольники. Следовательно, … .

б) В любом прямоугольнике сумма внутренних углов равна 360 . Четырехугольник АВСD – … .

III. Обычно, в математике, когда говорят о доказательстве, имеют в виду проверку высказанного утверждения.

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и они. Т.е. основным способом доказательства является дедуктивный вывод.

Доказательство – это логическая операция, в процессе

которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Доказательство в виде цепочки умозаключений выполняется в соответствии с правилами вывода и указанием всех посылок, оно не предназначено для постоянного использования на практике, где чаще пользуются свернутыми схемами умозаключений.

Применяются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и четыре основных закона логики:

1. Закон тождества.

Каждая мысль, повторяемая в рассуждении, должна быть тождественна самой себе. Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, а одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные за тождественные.

2.Закон непротиворечия.

Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, одно из них всегда ложно.

Если в в мышлении или речи человека обнаружено логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение вытекающее из него – ложным.

3. Закон исключенного третьего.

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете, одно – истинно, другое – ложное, третьего быть не может.

Этот закон требует выбора одной из взаимоисключающих альтернатив.

4. Закон достаточного основания.

Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых уже доказана.

Т.е. истинность утверждения нельзя принимать на веру. В качестве аргументов для доказательств используются определения понятий, доказанные теоремы и правила.

Следовательно, при доказательстве необходимо

1) иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;

2) понимать, что доказательство- это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по правилам и законам логики;

3) понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.

Доказательства существуют трех видов:

1) прямое,

2) косвенное,

3) полная индукция.

Прямое доказательство – это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А => В с соблюдением правил и законов логики, истинность которых доказана.

В доказательстве об утверждении, что четырехугольник, у которого три углы прямые, то это прямоугольник, является прямым, т.к. основываясь на истинном предложении с учетом теоремы, строится цепочка дедуктивных утверждений, приводящая к истинному заключению.