Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
Шрифт:
По расположению линий можно сказать, что треугольники были нарисованы не по отдельности, а пересечением трех рядов параллельных отрезков. Первый ряд образуют три горизонтальных параллельных отрезка, второй — восемь параллельных отрезков, наклоненных влево, третий — девять параллельных отрезков, наклоненных вправо.
Мы никогда не узнаем, имел ли автор узора представление о том, что такое «прямая», «отрезок», «угол», «параллельность» или «симметрия».
К намного более позднему периоду относится кость бабуина с зарубками, найденная в 1960 году на стоянке Ишанго в тогдашнем Бельгийском Конго (ныне Демократическая Республика Конго). Ее возраст оценивается примерно в 20 тысяч лет. Изначально считалось, что кость использовалась для счета, так как на ней в несколько рядов сделаны зарубки, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга.
Кость Ишанго в двух ракурсах (Брюссельский музей естественных наук).
На кость в три ряда нанесены зарубки, сгруппированные следующим образом.
Столбец А: 11 + 13 + 17 + 19 = 60.
Столбец В: 3 + 6 + 4 + 8 + 10 + 5 + 5 + 7 = 48.
Столбец С: 11 + 21 + 19 + 9 = 60.
В столбце А записаны простые числа от 10 до 20. Сумма чисел в ряду равна 60 — это число имело очень большое значение, так как выступало основанием системы счисления в культурах Месопотамии, на землях между реками Тигр и Евфрат, 15 тысяч лет спустя. 60 — очень удобное число, так как оно имеет 12 делителей, среди них — шесть первых натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. В столбце В записаны числа и кратные им (3 и 6, 4 и 8, 5 и 10). К этим числам приписано 7, чтобы общая сумма была равной еще одному числу, кратному 12, а именно 48. В столбце С записана последовательность нечетных (но не простых) чисел, которые в сумме также дают 60.
Случайно ли суммы чисел в трех столбцах равны 60, 48 и 60? Значит ли это, что тем, кто сделал зарубки, уже были известны понятия кратности и делимости, которые проявляются в парах чисел 3 и 6, 4 и 8, 5 и 10? Означает ли это, что авторы резьбы имели представление о неделимых, или простых, числах, в частности 3, 5, 7, 11, 13 и 19? Ответить на эти вопросы непросто, особенно если учесть, что зарубки имеют разную длину, а некоторые из них прерываются. Что означает прерывистая линия — одну единицу или две? А может, у того, кто сделал зарубки, просто дрогнула рука?
Наиболее вероятный математический феномен, который можно отметить при изучении зарубок на кости Ишанго, заключается в установлении соответствия «один к одному» между зарубками и какими-то другими объектами. Такое соответствие
Именно в этом заключается важнейшее отличие этих зарубок от петроглифа из южноафриканской пещеры Бломбос. Зарубки на кости Ишанго, по всей видимости, подчиняются не геометрической, а числовой закономерности. Петроглиф из пещеры Бломбос, напротив, описывается не числами, а законами геометрии.
Намного позже, чем южноафриканский петроглиф и конголезская кость с зарубками, на Европейском континенте было создано сооружение, в котором сочетаются числа и геометрия. Речь идет о мегалите Стоунхендж в долине Солсбери в Соединенном Королевстве. Стоунхендж имеет круговую структуру и состоит из четырех концентрических окружностей, образованных менгирами высотой в несколько метров, а сочетание дольменов и менгиров образует более сложную общую структуру.
Концентрические окружности Стоунхенджа (Соединенное Королевство).
Внешняя окружность мегалита диаметром 30 метров образована огромными камнями в форме прямых призм, которые сверху изначально были покрыты перекладинами. Внутри этой окружности расположена еще одна, состоящая из блоков меньшего размера, которые, в свою очередь, заключают в себе фигуру в форме подковы. Внутри этой подковы находится плита — алтарный камень. Стоунхендж, окруженный круглым рвом диаметром чуть больше 100 метров, был возведен примерно в 2500 году до н. э., хотя древнейшая часть сооружения датирована 3100 годом до н. э.
Цель строительства Стоунхенджа неизвестна. Среди приписываемых ему функций выделим три наиболее вероятных: место отправления культа, захоронение и астрономическая обсерватория. Следует отметить, что в те времена, когда был построен Стоунхендж, в дни летнего солнцестояния лучи солнца прочерчивали главную ось сооружения. На закате того же дня лучи солнца указывали ось так называемого Вудхенджа — памятника, расположенного неподалеку от Стоунхенджа, где были найдены многочисленные кости животных и другие предметы, которые, возможно, использовались во время религиозных или культовых церемоний.
Стоунхендж отличается от приведенных выше примеров тем, что имеет круглую форму. И все же существуют некоторые черты, которые роднят его с описанными выше культурными объектами: структура Стоунхенджа основана на ряде повторений, подчиняющихся общему закону, что придает сооружению особый характер. В петроглифе из пещеры Бломбос повторяются треугольники, на кости Ишанго — равноудаленные зарубки, в Стоунхендже — круги. Повторяющиеся круги Стоунхенджа образуют единую мощную структуру, так как имеют общий центр.
Можно пойти еще дальше и найти соотношение между диаметрами двух концентрических окружностей Стоунхенджа, которые равны примерно 30 и 24 м:
30 м/24 м = 5/4 = 1,25
Однако диаметры этих окружностей вполне можно принять равными 30,4 м и 24,1 м. В этом случае их соотношение будет таким:
Учитывая, что 1,26 — очень точное приближение кубического корня из 2, можно ли сделать вывод, что строителям Стоунхенджа были известны пропорции, а отношение диаметров окружностей действительно равно кубическому корню из 2?