Наука логики

Гегель Георг Вильгельм Фридрих

Чтобы сделать ясным, в чем заключается истинное определение тех моментов какой-нибудь функции, которыми занимается высший анализ, мы должны снова вкратце т-к 2 а обозреть указанные выше ступени. В дробях у или j числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные количества и соотношение для них несущественно; а и b также должны быть представителями таких определенных количеств, которые остаются тем, что они суть, также тт 2 а и вне отношения. Далее, — у и j- суть также некоторые постоянные определенные количества, некоторые частные; отношение составляет некоторую численность, единицей которой служит знаменатель, а численностью этих единиц — числитель или обратно. Если бы мы подставили вместо 2 и 7–4 и 14 и т. д., то отношение осталось бы тем же самым. также и как определенное количество. Но это существенно изменяется, например, в функции ~- =/?;

{287}

здесь, правда,? и у имеют значение определенных количеств; но определенное частное имеют не? и у, а лишь? и у2. Благодаря этому

указанные члены отношения? и у (не только не суть, во-первых, такие-то определенные количества, но и, во-вторых их отношение не есть некоторое постоянное определенное количество (а также и не имеется в виду таковое, как это, например, имеет место при a и b), не есть постоянное частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно. Но это зависит только от того, что? находится в отношении не к у, а к квадрату у. Отношение некоторой величины к степени есть не определенное количество, а по существу качественное отношение. Степенное отношение есть то обстоятельство, которое должно рассматриваться как основное определение. — В функции же прямой линии у = ах у выражение ~ =а есть обыкновенная дробь и частное; эта функция есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря,? и у яредставляют собою здесь то же самое, чш а и Ъ в g-, они не имеют того определения, под которым их рассматривает диференциальное и интегральное исчисление. — Вследствие особенной природы переменных величин в этом способе рассмотрения было бы целесообразно ввести для них как особое название, так и особые обозначения, отличные от обычных названия и обозначений неизвестных величин в каждом конечном, определенном ли или неопределенном уравнении, — это было бы указанием их существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе суть вполне определенные количества или определенная совокупность определенных количеств. — И в самом деле, лишь отсутствие сознания своеобразия того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в диференциальном исчислении и изобретение его, привело к включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав этого особого исчисления; доля вины за такой формализм ложится также и на то недоразумение, по которому полагают, что возможно выполнить само по себе

{288}

правильное требование обобщения какого-нибудь метода тем, что опускается та специфическая определенность, на которой основана потребность в этом методе, так что считается, что дело вдет в рассматриваемой нами области только о переменных величинах вообще. Значительная доля формализма в рассмотрении, равно как и трактовке этих предметов, несомненно не имела бы места, если бы поняли, что диференциальное исчисление касается не переменных величин как таковых, а степенных определений.

Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой выступает в своем своеобразии математическое бесконечное.

В уравнении, в котором хну положены ближайшим образом как определенные некоторым степенным отношением,? и у как таковые должны еще означать некоторые определенные количества; и вот это значение совершенно утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не суть определенные количества и не должны обозначать таковых, а имеют значение лишь в своем соотношении, имеют смысл лишь как моменты. Они уже больше не суть нечто, если принимать нечто за определенное количество, не суть конечные разности; но они также и не суть ничто, не суть лишенный определения нуль. Вне своего отношения они — чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как определения диференциального dx коэфициента т-· В этом понятии бесконечного определенное количество подлинно завершено в некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а как определенное количество вообще. Но при этом сохраняется количественная определенность как элемент определенных количеств, как принцип или, как также выражались, она сохраняется в своем первом понятии.

Против этого понятия и направлено все то нападение, которому подверглось основное определение математики этого бесконечного, — диференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления самих математиков вы-

{289}

звали непризнание этого понятия; но преимущественно вина за эти нападки ложится на неспособность оправдать этот предмет как понятие. Но понятия, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной определенности своих предметов, — как например, в чистой математике пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с другом лишь со стороны их конечности, — а она приводит заимствованное оттуда и рассматриваемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая, например, кривую линию в прямую, круг в многоугольник и т. д. Поэтому действия, к которым она позволяет себе прибегать в диференциальном и интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой исключительно только конечных определений и их соотношений и«, стало быть, могли бы найти свое оправдание только в понятии.

Если

математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные определения суть исчезающие величины, т. е. такие величины, которые уже больше не суть какие- либо определенные количества, но не суть также и ничто, а еще представляют собою известную определенность относительно другого, то нападавшим на нее казалось, что ничего нет яснее того, что не может быть такого, как они выражались, среднего состояния между бытием и ничто. — Каково значение этого возражения и так называемого среднего состояния, это уже было указано выше при рассмотрении категории становления, примечание 4. Конечно, единство бытия и ничто не есть состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь вали подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления, между тем как эта средина и это единство, исчезание, которое есть также и становление, напротив, единственно и есть их истина.

То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или меньшее; поэтому, не может быть отношения бесконечного к бесконечному, по порядкам или 19 Гегель, том V, Наука логики

{290}

достоинствам бесконечного, а между тем мы встречаем таковые различия бесконечных разностей в науке, трактующей о них. — В основании этого уже упомянутого выше возражения все еще лежит то представление, что здесь идет речь об определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что определения, которые уже не суть определенные количества, не имеют больше никакого отношения друг к другу. В действительности же делю обстоит наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне своего отношения должно иметь совершенно безразличное к другим наличное бытие, определение, которому должно быть безразлично его отличие от некоего другого, между тем как качественное есть, напротив, лишь то, что оно есть в своем различии от другого. Поэтому указанные бесконечные величины не только сравнимы, но имеют бытие лишь как моменты сравнения, отношения.

Я приведу важнейшие определения, которые были «даны в математике относительно этого бесконечного; из них сделается ясным, что в их основании лежит такая мысль о предмете, которая согласуется с развитым здесь понятием, но что создатели этой отрасли математики не обосновали этой мысли как понятие, и в применениях они вынуждены были прибегать к обходным средствам, противоречащим их лучшему делу.

Эта мысль не может быть определена правильнее, чем то сделал Ньютон. Я оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие к представлению движения и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий), так как в них мысль выступает не с надлежащею абстрактностью, а конкретно, свешана с формами, лежащими вне существа дела. Эти флюксии объясняются Ньютоном в том смысле (Princ. mathem. phil. nat., Hb. I, Lemma XI, Schol.), что он понимает под ними не неделимые — форма, которою пользовались более ранние математики, Кавальери и другие, и которая содержит в себе понятие само по себе определенного количества, — а исчезающие делимые. Он объ-

{291}

ясняет далее, что он понимает под ними не суммы и отношения определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого выдвигают, дескать, то возражение, что у исчезающих величин не может быть никакого последнего отношения, так как прежде, чем они исчезли, оно не последнее, а когда они исчезли, нет никакого отношения. Но под отношением исчезающих величин, указывает Ньютон, следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum evanescunt).

Точно так же первое, отношение возникающих величин есть то отношение, вместе с которым они возникают.

В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь объяснение, что под таким-то выражением следует понимать то-то. Но заявление, что под таким-то выражением следует понимать то-то, есть, собственно говоря, лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не показывают, что такое понятие само по себе необходимо и обладает внутренней истинностью. Но вышеизложенное показывает, что выставленное Ньютоном понятие соответствует тому, как в предшествующем изложении получилась бесконечная величина из рефлексии определенного количества внутрь себя. Под флюксиями Ньютон понимает величины в их исчезновении, т. е. величины, которые уже больше не суть определенные количества; он, далее, понимает под ними не отношения определенных частей, а пределы отношения. Стало быть, исчезают согласно этому пониманию как определенные количества сами по себе, члены отношения, так и самое отношение, поскольку оно было определенным количеством, предел отношения величин есть то, в чем оно есть и не есть; это означает, точнее, что оно есть то, в чем определенное количество исчезло, и тем самым сохранились лишь отношение как качественно количественное отношение, и его члены — тоже как качественно количественные моменты. — Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства, что существуют последние отношения исчезающих величин, не следует заключать, что существуют послед-