Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы.
Шрифт:
До последней трети XVII века в математическом европейском мире существовал ряд методов для решения абсолютно разных задач: нахождение касательных к кривым, расчет площадей, объемов и центров тяжести, задачи максимальных и минимальных значений и т.д., которые представляют собой зачаточный этап современного анализа. Однако специфика методов, разработанных в каждом конкретном случае для решения определенных задач, не позволяет говорить об общей теории.
Прямая (секущая)
Рассмотрим теперь углы: α, образованный секущей с осью ординат; и β, образованный касательной с той же осью. По мере того как а уменьшается и приближается к β, прямая S все больше приближается к Т. Этот процесс эквивалентен процессу уменьшения разницы между α и α + h, из-за чего по мере того, как h стремится к 0, наклон прямой S все больше приближается к наклону прямой Т. В пределе этого сближения наклон обеих прямых будет одинаковым и связанным с производной f в точке α. Так доказывается, что значение производной функции в точке – то же, что наклон касательной к этой функции в указанной точке. Математически это выглядит так:
Итальянский иезуит Бонавентура Кавальери (1598-1647) придумал метод определения площадей и объемов и описал его в трудах «Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного» (Geome- tria indivisibilibus) (1635) и «Геометрические этюды» (Exercitationes geometricae) (1647). Кавальери предложил разложить геометрические величины на бесконечное количество элементов, или неделимых, которые представляют собой последние возможные значения этого разложения.
Затем он решил представить объемы, поверхности и длины в виде бесконечной суммы неделимых. Британец Джон Валлис (1616-1703), член-основатель Королевского общества, которого можно считать прямым предшественником Ньютона и Лейбница, перевел на арифметическую основу метод неделимых Кавальери и присвоил им числовые значения, превратив таким образом анализ площадей (до того момента исключительно геометрический) в арифметический анализ. В трактате «О конических сечениях» (De sectionibus conicus) (1655) Валлис предложил представить бесконечность при помощи символа oo.
Ньютон и Лейбниц
Ньютон показал, как эти понятия – дифференциал и интеграл в терминологии Лейбница – могут использоваться для решения не только частных задач касательных, максимальных и минимальных значений или расчета площади, но и бесконечного количества других. В результате ему удалось превратить набор разрозненных операций, совершенных его предшественниками, в общий математический анализ.
Очень скоро изобретение продемонстрировало удивительную эффективность. Благодаря анализу бесконечно малых сложные расчеты площадей, которые принесли Архимеду славу гения, или обратные задачи, над решением которых бились лучшие математики середины XVII века, сегодня являются или, по крайней мере, должны являться упражнениями, доступными для ученика средней школы.
Хотя об этом часто забывают, слава Ньютона и его гениальность во многом определяются его математическими способностями и воображением: талант математика, сделавший возможным удивительные открытия ученого, например анализ бесконечно малых, в значительной степени отличает его от других ученых того времени. Вспомним, например, Гука, Галлея и Рена, собравшихся в кафе и пытающихся рассчитать орбиты планет, которые зависят от притяжения Солнца. Основным инструментом, которого им не хватало для успешных вычислений, был именно анализ бесконечно малых.
Ньютон построил цельную систему мира, что превратило его в самого успешного из всех ученых. Как подметил Лагранж, «систему мира можно открыть лишь один раз». И этим открытием Ньютон обязан именно своему великолепному владению математикой. Не стоит считать ученого исключительно физиком – он был скорее натурфилософом, а еще точнее – прикладным математиком. Напомним, что по этому поводу написал Д. Т. Уайтсайд, занимавшийся изданием математических манускриптов английского гения:
«Никогда не стоит забывать, что Ньютон представлял математику сундуком с инструментами истины, видел в ней внутреннюю красоту и мощь, независимые от внешних побуждений. […] В те времена не было в мире математики ученого ни более талантливого, ни более осведомленного; никто не был таким способным в алгебре, таким искусным в геометрии, достойным и знающим все тонкости анализа бесконечно малых».
В конце июня 1669 года, за несколько дней, Ньютон написал «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi), основываясь на исследованиях, которые он проводил с 1664 года. Содержание и идея этого трактата имели огромную ценность. Обнародовав его, Ньютон превратился в первооткрывателя анализа бесконечно малых, а сам «Анализ» стал великой хартией новой дисциплины. В первой части трактата Ньютон показал, каким образом, используя степенные ряды, вычисление площади можно расширить до огромного разнообразия функций. Таким образом, был сделан гигантский шаг вперед в решении проблемы расчета площади, ограниченной кривой, – вопроса, который поднимался еще греческими математиками.