О том, чего мы не можем знать. Путешествие к рубежам знаний
Шрифт:
Атомистическое видение материи не было повсеместно признано в Древнем мире. В конце концов, никаких доказательств существования таких невидимых элементов не было. Их нельзя было увидеть. Аристотель, например, не верил в идею фундаментальных атомов. Он полагал, что стихии по природе своей непрерывны, так что мою игральную кость теоретически можно делить на все меньшие и меньшие части. Он считал огонь, землю, воздух и воду элементарными в том смысле, что их нельзя разделить на «тела иной формы». Сколько бы мы их ни делили, мы всегда получаем воду или воздух. Вода в стакане представляется человеческому глазу непрерывной структурой, которую теоретически можно делить до бесконечности. Кусок резины можно плавно растянуть так, что он будет казаться непрерывным. Так было подготовлено поле битвы между непрерывной и дискретной
Интересно отметить, что именно пифагорейцам приписывается открытие, которое поставило атомистическое видение материи под угрозу и на долгие годы изменило ситуацию в пользу веры в возможность бесконечного деления материи.
Числа на грани
Если провести на листе бумаги две линии, то с атомистической точки зрения каждая из линий будет состоять из определенного числа неделимых атомов и, следовательно, их длины будут пропорциональны некоторым целым числам, соответствующим количествам атомов, их составляющих. Но оказалось, что такой строгий порядок не вполне соответствует положению вещей. Более того, именно теорема о прямоугольных треугольниках самого Пифагора показала, что мир геометрии способен порождать линии, отношение длин которых не может быть выражено простыми дробями.
В размерах моей игральной кости уже таится некоторое затруднение для этого атомистического воззрения на природу. Возьмем два ребра кубика, расположенные под прямым углом друг к другу. Их длины равны. Рассмотрим диагональ, проведенную по грани кубика и завершающую треугольник, образованный вместе с двумя ребрами одинаковой длины. Каково отношение длины этой диагонали к длинам более коротких сторон треугольника?
Как гласит теорема Пифагора о прямоугольном треугольнике, квадрат длины такой диагонали (гипотенузы) равен сумме квадратов длин двух коротких сторон (катетов). Если считать длину ребра кубика равной 1, то, по теореме Пифагора, длина диагонали грани такого кубика равна числу, квадрат которого равен 2. Что же это за число?
Задача вычисления этой длины увлекала еще вавилонян. Оценку этой длины можно найти на хранящейся в Йельском университете табличке, которую датируют старовавилонским периодом (1800–1600 гг. до н. э.). Используя шестидесятеричную систему (т. е. систему счисления по основанию 60), вавилоняне получили следующий результат:
которому при десятичной записи соответствует число 1,41421296296…, причем группа «296» повторяется до бесконечности. Собственно, любая дробь, будучи записана в десятичной системе, с какого-то момента начинает повторяться. Это вавилонское вычисление было замечательным достижением. Оно соответствует точному результату до шестого знака после запятой. Однако квадрат этой дроби оказывается чуть меньше 2. Открытие древних греков состояло в том, что, как бы ни старались вавилонские писцы, их дроби, возведенные в квадрат, никогда не могли быть точно равны 2.
Открытие неизбежности такой неудачи вавилонских математиков приписывают одному из последователей Пифагора по имени Гиппас. Он доказал, что длина диагонали грани моей игральной кости в принципе не может быть выражена в виде дроби.
Из теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике следует, что длина гипотенузы равна произведению длины катета на квадратный корень из 2. Но Гиппас смог доказать, что дроби, квадрат которой был бы точно равен 2, не существует. Доказательство использует один из классических приемов, имеющихся в арсенале математика, – доказательство от противного. Гиппас предположил сначала, что существует такая дробь, квадрат которой равен 2. При помощи некоторых ловких преобразований можно показать, что из этой посылки всегда следует противоречивый вывод о существовании числа одновременно четного и нечетного. Единственный способ разрешения этого противоречия состоит в признании ложности исходного предположения: существование дроби, квадрат которой был бы равен 2, невозможно.
Говорят, что его товарищи-пифагорейцы были приведены в смятение вестью о том,
34
Латинское слово ratio, от которого происходят соответствующие корни в английском, русском и других языках (ср., например, «рацион»), означает, в частности, «отношение» или «дробь».
Иррациональные длины в кубе
Мне конечно же кажется, что такая длина существует. Я могу увидеть ее на линейке, приложенной к длинной стороне треугольника. Она равна расстоянию между двумя противоположными углами любой грани моей кости. И тем не менее, сколько бы я ни пытался, я не могу найти закономерность этого бесконечного десятичного числа. Оно начинается с 1,414213562… и продолжается до бесконечности, никогда не повторяясь.
Иррациональный восторг
Открытое древними греками существование длин, которые нельзя выразить простым отношением целых чисел, заставило математиков того времени создать новую математику, математику иррациональных чисел, которая позволила бы действительно измерить Вселенную. Иррациональными оказались и другие базовые длины, например , длина окружности единичного диаметра, – они тоже не были равны отношениям целых чисел. Хотя иррациональность квадратного корня из 2 была известна древним грекам еще 2000 лет назад, только в XVIII в. швейцарский математик Иоганн Генрих Ламберт смог доказать, что число тоже не может быть выражено в виде отношения двух целых чисел.
Несмотря на мое отвращение к тому, чего мы знать не можем, один из определяющих моментов, возбудивших во мне любовь к математике, наступил, когда я прочитал о числах, которые не могут быть выражены простым отношением целых чисел. В том же году, когда учитель музыки познакомил меня с трубой, лежавшей в шкафу, учитель математики познакомил меня с доказательством иррациональности квадратного корня из 2. Это доказательство содержалось в одной из книг, которые учитель посоветовал мне прочесть, пытаясь разжечь во мне математическое пламя. И это ему удалось. Я был поражен тем, что при помощи конечного логического рассуждения можно доказать, что размер, подобный длине диагонали квадрата, может быть выражен лишь числом с бесконечным количеством знаков. А если записать такую длину невозможно, мне нужно хотя бы понять, почему это число нельзя познать.
С тех пор как я школьником прочитал это доказательство, я узнал о других методах исследования иррациональных чисел, так что, может быть, эти числа все-таки познаваемы. Существуют бесконечные выражения с регулярной структурой, позволяющие сделать такие числа менее таинственными. Например,
Открытие таких выражений выводит иррациональные числа в область известного. Дробь представляет собой число, которое при десятичной записи повторяется начиная с некоторой точки. Нельзя ли рассматривать такие выражения как структуру, не слишком отличную от повторяющейся группы десятичного представления дроби? Наличие такой повторяющейся группы означает, что существуют два числа, отношение которых дает значение данного числа, тогда как в случае 2 и я вынужден использовать для выражения этих длин бесконечное число чисел. Вопрос о том, обязательно ли известное должно быть конечным, будет постоянно преследовать меня в течение всего моего путешествия к границам неизвестного.