Объективное знание. Эволюционный подход
Шрифт:
Определенное таким образом А Fотвечает нашим пожеланиям, или требованиям, адекватности: (a) A Fесть содержание, пусть даже только относительное содержание; в конце концов, абсолютные содержания — это тоже относительные содержания, если дана логическая истина (или в предположении, что Lлогически истинно); (b) А Fсодержит все ложныевысказывания, следующие из а, поскольку это дедуктивная система высказываний, которые следуют
Содержания иногда логически сравнимы, а иногда нет; они образуют частично упорядоченную систему — упорядоченную отношением включения, точно так же как высказывания образуют систему, частично упорядоченную отношением следования (entailment). Абсолютныесодержания А и Всравнимы, если А Вили В А.Для относительных содержаний условия сравнимости сложнее.
Если Xесть финитно аксиоматизируемое содержание, или дедуктивная система, то существует высказывание xтакое, что Xесть содержание x.
Таким образом, если Y— финитно аксиоматизируемо, мы сможем написать:
x, Y= x, у.
В этом случае можно видеть, что х, Yравно абсолютному содержанию конъюнкции х.y минусабсолютное содержание y .
Аналогичные соображения показывают, что а, Bи с, Dбудут сравнимы, если
(А + В)- Всравнимо с (С + D) - D,
где есть сложение дедуктивных системпо Тарскому: если обе аксиоматизируемы, А + Dесть содержание конъюнкции а.Ь.
Таким образом, сравнимость будет достаточно редкой в этой частично упорядоченной системе. Однако есть способ показать, что эта частично упорядоченная система может быть «в принципе» — то есть без противоречия — линейно упорядочена. Этим способом является применение формальной теории вероятностей. (Я утверждаю здесь только ее применимость к аксиоматизируемым системам, но не исключено, что ее можно расширить и на неаксиоматизируемые системы; см. также главу 9).
Мы можем написать 'p(x, Y)' или
P(X,Y)
(читается как «вероятность хпри условии Y »)и применить формальную систему аксиом для относительной вероятности, которую я изложил в других местах (например, в моей L. Sc. D., Новые приложения *iv и *v [52] ) . В результате p(x,Y)будет числом от 0 до 1 — обычно мы не имеем представления о том, каким именно числом — и мы можем утверждать в самом общем виде, что
52
Я
р(а, В)и р(c, D) в принципе совместимы.
И хотя мы обычно не имеем в нашем распоряжении достаточной информации для решения вопроса о том, имеет ли место
р(а, В) р(с, D)или p(а, В) p(с, D),
мы можем утверждать, что по крайней мере одно из этих отношений должно иметь место.
В результате всего этого мы можем сказать, что истинностные содержания и ложностные содержания могут быть в принципе сравнимы с помощью исчисления вероятностей.
Как я неоднократно показывал, содержание Авысказывания абудет тем больше, чем меньше логическая вероятность р(а)или р(А).Потому что чем больше информации несет высказывание, тем меньше будет логическая вероятность того, что оно (как бы случайно) истинно. Поэтому мы можем ввести некоторую «меру»содержания (ее можно использовать в основном топологически, то есть как показатель линейного порядка):
сt(а),
или (абсолютное) содержание а, а также относительные меры
ct(a, b)и ct(a, В),
то есть относительное содержание апри условии, соответственно, b или В.(Если Ваксиоматизируемо, то мы, конечно, сразу же получаем ct(a,b) = ct(a,В).)Эти «меры (measures)* ctможно задать с помощью исчисления вероятностей, то есть с помощью определения
сt(а, В)= 1 - р(а, В).
Теперь в нашем распоряжении есть средства для определения (мер) истинностного содержания ct T(a)и ложностного содержания ct F(a):
ct T(a) = ct(A T),
где A T, как и раньше, есть пересечение Аи системы, в смысле Тарского, всех истинных высказываний; и
ct F(a) = ct(a, A T))
то есть ложностное содержание (его мера) есть относительное содержание (его мера) апри данном А T— истинностном содержании а. Другими словами, это есть степень, в которой авыходит за пределытех высказываний, которые (а) следуют из а и (b) истинны.
8. Замечания о правдоподобности