Объективное знание. Эволюционный подход
Шрифт:
Cn(А,В)
как релятивизацию (relativization) Cn (А)Тарского, которое является особым случаем при В= L = Cn(0):
Cn(А)=Cn(A,L).
Мы можем писать сокращенно "A,B" вместо "Cn(A,B)", точно так же, как Тарский пишет "A" вместо "Cn(A)".Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:
Определение: А,В=Cn(А,В)= Cn (A+B) - Cn (B).
А отсюда очевидным образом следует
Теорема:
A=Cn(A)=A,L=Cn(А,L)=Cn(A+L)-Cn(L).
Ограничиваясь относительным способом записи, мы получаем для истинностного содержания
А Т=AT,L=Cn((А.Т)+L)– Cn(L),
а
A F = A, A T= Cn(A+ A T) - Cn(A T) = Cn(A) - Сп(А T),
что превращает ложностное содержание в относительное содержание, объем (extension) которого совпадает (как первоначально и предлагалось) с классом всех ложных высказываний в А.
VII
Против предложенного определения ложностного содержания Аркак относительного содержания А )Атможно выдвинуть следующее возражение. Это определение интуитивно опирается на цитату из Тарского, в которой Тарский принимает Lза наименьшую или нулевую дедуктивную систему. Вместе с тем в нашей последней теореме
А=A,L=Cn(А+L)-Cn(L)
мы воспринимали слово «нулевая» слишком буквально: теперь мы видим, что Lследует понимать как множество меры нуль,а не как множество, которое, с учетом нашего выражения "-Cn(L)", в буквальном смысле пусто или которого больше нет, согласно нашему определению, поскольку оно было вычтено (так что в A остались только нелогические высказывания, чего мы не имели в виду).
Относимся мы к этому возражению серьезно или нет, оно в любом случае исчезает, если мы решим оперировать с мерой содержания ct(A)или ct(A,B),а не с самим содержанием, или классом следствий Cn(А)или Cn(А,В).
В 1934 году Тарский привлек внимание пражской конференции к аксиоматизации исчисления относительной вероятности дедуктивной системы Апри данной дедуктивной системе В, предложенной Стефаном Мазуркевичем [311] и опирающейся на исчисление систем Тарского. Такую аксиоматизацию можно рассматривать как введение функции меры для дедуктивных систем или содержаний А, В, С,... , даже хотя данная конкретная функция — функция вероятности
р(А,В)
311
Тарский ссылается на работу: Mazurkiewicz S.Die Grundlagen der Wahrscheiningskeits-rechnung I. Monatshefte tur Mathematik & Physik, Band 41, 1934, SS. 343-352. Из сноски 2 на S. 344 этой работы видно, что исчисление систем Тарского было известно польским математикам еше в 1930 году. Система Мазуркевича имеет определенный финитистский характер в отличие от моей собственной системы (см. Popper К. R.The Logic of Scientific Discovery, pp. 326-358), которую можно интерпретировать различными способами, например как исчисление вероятностей дедуктивных систем.
Я могу, пожалуй, упомянуть, что в настоящей работе я использую в качестве символов для функций меры, таких как вероятность, содержание и правдоподобность, строчные курсивные буквы, например, р(А), ct(A), vs(A).(Добавлено в 1978 г.) Везде, где это необходимо, я принимаю «тонкую структуру» вероятности. См. Popper К. R. Logic of Scientific Discovery, New Appendix *VIL
и возрастает с уменьшением относительного содержания. Это наводит на мысль ввести меру содержания с помощью определения, такого как
Определение: ct(A, В) = 1 - p(А, В).
Эта функция возрастает и убывает с возрастанием и убыванием относительного содержания. (Возможны, конечно, и другие определения, но это кажется самым простым и очевидным). Мы сразу же получаем:
ct(L) = 0
ct(A T) = 1 - p(А.T, L) = 1 - р(А.Т)
ct(A F) = 1- p(A,A T),
что соответствует ранее полученным результатам.
Это наводит на мысль, что мы можем ввести понятие правдоподобности, или verisimilitude, высказывания а таким образом, чтобы оно возрастало вместе с возрастанием истинностного содержания этого высказывания и убывало с ростом его ложностного содержания. Это можно сделать несколькими способами [312] .
Самый очевидный способ — принять ct(A t) - ct(A F) за меру правдоподобности A. Однако по причинам, которые я здесь не буду обсуждать, мне кажется несколько более предпочтительным определить правдоподобность vs(A) как разность, умноженную на некий нормализующий множитель, предпочтительно следующий:
312
См. Popper
Таким путем мы получаем следующее
Определение:
что, конечно, можно переписать в р-нотации как:
А это приводит к
– 1 vs(A) +1
и, в частности, к
vs(L) = 0.
Иначе говоря, правдоподобность измеряет не ту степень приближения к истине, которой можно достичь, не делая никаких содержательных высказываний (она измеряется нехваткой содержания или вероятностью), а приближение ко «всей истине» — через все большее и большее истинностное содержание. Я полагаю, что правдоподобность в этом смысле является более адекватной целью науки — особенно естественных наук, чем истина, по двум причинам. Во-первых, потому, что мы не думаем, что Lсоставляет цель науки, даже хотя L=L T.Во-вторых, потому, что мы можем предпочесть теории, которые считаем ложными, другим, даже истинным — таким как L,— если сочтем, что их истинности содержание существенно превышает их ложностное содержание.
В этих заключительных разделах главы 9 я лишь кратко очертил программу сочетания теории истины Тарского с его исчислением систем с целью получить понятие правдоподобности,позволяющее нам говорить — без опасения говорить бессмыслицу — о теориях, являющие лучшими или худшими приближениями к истине.Я, конечно, не предполагаю, что может существовать критерий применимости этого понятия не более, чем может существовать такой критерий для понятия истины. Вместе с тем некоторым из нас (например, Эйнштейну) иногда хочет говорить такие вещи, как например что у нас есть основания предполагать, что эйнштейновская теория тяготения не истинна,но являет лучшим приближением к истине,чем ньютоновская. Иметь возможное со спокойной совестью говорить подобные вещи кажется мне важным пожеланием к методологии естественных наук.
Добавление
Замечание к определению истины по Тарскому {56}
В своей знаменитой работе о понятии истины [313] Тарский описывает способ определения понятия истины или, точнее, понятия «x есть истинное высказывание (языка L)».Первоначально этот способ применялся к исчислению классов, но он может применяться в самом общем виде к самым разным (формализованным) языкам, включая языки, позволяющие формализовать некоторые эмпирические теории. Для этого способа характерно то, что определение «истинного высказывания» основывается на определении отношения удовлетворения (relation of satisfaction),или точнее — выражения «бесконечная последовательность fудовлетворяет пропозициональной функции Х » [314] .Это отношение удовлетворения интересно само по себе,вне зависимости от того, что оно играет решающую роль в определении истины (и что шаг от определения удовлетворения к определению истины практически не представляет трудности). Предлагаемые мною замечания связаны с проблемой применения при определении удовлетворения конечных, а не бесконечных последовательностей.Это, по-моему, желательно с точки зрения применения данной теории к эмпирическим наукам, а также и с дидактической точки зрения.
313
См. Tarski А.Der WahrheitsbegrifT in den formalisierten Sprachen // Studia Philosophica, Bd. I, 1935, S. 261 [англ. пер.: Tarski A.The Concept of Truth in Formalized Languages// TarskiA.Logic, Semantic, Metamathematics, 1956, paper VIII, pp. 152-278]. Как я понимаю, Тарский предпочитает переводить «Aussage» и «Aussagefunktion» как «sentence» («предложение») и «sentence-function» («сентенциальная функция») — термины, используемые в переводе логических работ Тарского на английский, выполненным профессором Вуджером, — тогда как я пользуюсь здесь терминами «высказывание (statement)» и «пропозициональная функция (statement function)». Перевод Вуджера должен быть вскоре опубликован издательством Clarendon Press в Оксфорде. [Эта книга вышла в 1956 году. Есть и еще несколько различий между моим переводом и переводом Вуджера].
314
См. Tarski Л.Ibidem, S. 311 [p. 193], S. 313 [p. 195]. Заметим, что класс пропозициональных функций (или сентенциальных функций) включает класс высказываний, то есть замкнутыхпропозициональных функций.