Парадоксы роста. Законы развития человечества
Шрифт:
Начальный линейный рост дает оценку времени для эпохи антропогенеза — критической сингулярности в начале предыстории человечества, которая случилась:
T0 – T1 = π/2·Kτ = — τ√πN1/2 = 4,2 млн лет назад, (11)
если использовать известное значение N1 и одно и то же значение τ = 45 лет для сингулярности в далеком прошлом и в настоящем. Несмотря на сделанные упрощения, данная оценка вполне согласуется с оценками времени Т0 в антропологии.
Интересно определить полное число людей, живших на Земле. Если переставить переменные в (6) и проинтегрировать:
то
Р0,1 = 2,25 К2 ln К = 90 млрд. (13)
Таким образом, в течение каждого из ln К = 11,0 выделенных периодов жило по 2,25 K2 = 8 млрд людей. Это число является инвариантным для числа людей, живших в экспоненциально сокращающихся циклах, а ln K указывает на число циклов.
Циклы можно получить, обобщая решение (6) в область комплексных переменных или же просуммировав экспоненциально сокращающиеся циклы:
ΔT = К τ ехр (-θ), (14)
где θ = |ln t| — номер цикла, определить длительность развития при К >> 1:
и сравнить ее с (11), где длительность равна Т1 – Т0 = π/2·Kτ = 1,571. В первом случае рост суммируется по гиперболической траектории, во втором — по (4) — N = K tan t/K.
Демографические циклы определяют периодичность развития всего человечества за 4–5 млн лет, включая проходящий по гиперболическому закону рост от конца антропогенеза до наших дней.
Для дальнейшего обзора результатов перейдем к переменной n = N/K:
когда мерой численности становится К. Тогда уравнения для роста приобретают симметричный вид и видно сопряжение переменных n и t. Смена зависимой переменной в (16а) и (16d) видна при прохождении перехода, когда n становится независимой переменной вместо времени t, что выражено в уравнении роста (3).
Рост населения можно иллюстрировать геометрическим построением функции тангенса:
где угол Δφ = τ отображает течение времени, а приращение населения ΔN = 1 (рис. 16).
Линейный рост будет продолжаться до φA,B = Кτ = 1 и NB = tan 1 в точке В на касательной АС. Дальнейший рост N = К(π/2 — φ)– 1 будет проходить по гиперболе, при которой время асимптотически стремится к π/2, а население достигнет значения Nc = К2. Когда система приближается к моменту особенности, то от уравнения (16а) следует переходить к уравнению (16d), чтобы описать рост при прохождении особенности в течение эпохи С. Построение показывает, что после перехода от линейного к гиперболическому росту на эпоху В остается в два раза меньше времени, чем на начальную эпоху А. Вывод этого соотношения для всей эпохи В (см. рис. 19) построен при К = 7, когда время от Т0 до Т1 разделено на 11 интервалов, и поскольку к/2 = 1/7, то Nc = К2 =49. Однако даже при таком малом значения К, когда In K = In 1,95 дает хорошую оценку для числа демографических циклов, 1 + In К ≈ 3. Таким образом нулевой цикл антропогенеза продолжался 7 единиц времени, первый цикл длился 3 и последний — одну единицу времени. Это построение показывает, как дискретность времени и населения приводит к появлению периодичности роста, выраженной в демографических циклах как главных эпохах развития человечества.
Рис. 19. Построение функции тангенса, показывающее пределы асимптотик роста
Линейный рост описывает поведение системы вблизи начальной сингулярности роста, начинающейся
На рис. 18 показаны функции, описывающие рост системы при К = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot (t/K) и cot– 1(t/K):
Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем T0 и T1 соответствующей наступлению неолита:
под углом 2/(3K) практически гладко при больших значениях К.
Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T0 — от эпохи антропогенеза А при t0 = 0. Тогда, исключив t из (15с), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости от состояния системы, которое определяется населением Земли и где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при Δt = τ.
Интегрируя (20) при значениях K > 1 и начальных условиях t0 = n0 = 0, получим решение:
Рис. 20. Функции F (t), описывающие рост
Это решение показывает симметрию переменных N и T — населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.
Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям
δN = δN0 exp(λt) (22)
определит показатель Ляпунова λ развития неустойчивости в системе населения:
По этому критерию при λ > О движение неустойчиво до перехода. Только после него развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Отметим, что в этих решениях значение констант роста К и τ не эволюционируют. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для n и обращения к методам статистической физики при обобщении развитой выше модели.
Рис. 21. Переходные процессы и устойчивость роста в линейном приближении
1 — логистический переход ν = 1/1+е– r; 2 — демографический переход η = 1/π соt– 1 T и λ (ν).
При гиперболическом росте мгновенное значение экспоненциального роста равно древности,
что и определяет скорость процессов развития в момент времени Т.
В гиперболической хронологии мгновенный экспоненциальный масштаб времени роста линейной неустойчивости по Ляпунову зависит от древности и до демографического перехода равен удвоенному времени роста неустойчивости: