По следам сенсаций
Шрифт:
Однако предположим, что всё бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется «в наличии», так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить «иглоукалывание», но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причём для любой точки этого нового множества найдётся место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств!
Пусть теперь нам удалось «вытатуировать» на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик,
Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмём сторону квадрата и уложим её на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придётся аккурат на «вакантное» место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно «перенести» со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырёх четвертушек и так далее — всё это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путём множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдётся своё место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно — и вдруг содержит «пустоты», уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки — рациональную и иррациональную — или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах… Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена — словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия — всё это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума — его несчётность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору.
На первый взгляд, тут и открывать-то нечего; раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтёшь, Ан нет, оказывается, есть и счётные множества, даром что бесконечные.
Понятно, определение «счётный» здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу — эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое «пересчитать»? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6… Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее).
Правда, последовательный пересчёт не всегда удобен — даже в случае конечных множеств, «Пойдём, например, на танцплощадку, — иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре «Рассказы о множествах». — Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчётом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодёжь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек».
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества.
Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счётными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных).
Теперь естественно ожидать, будто все без исключения
Доказать, что множество счётно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчётности того или иного множества — это значит доказать, что такого правила нет и не может быть вообще.
Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдётся хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдётся незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова «множество всех точек континуума неисчислимо».
Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей — непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определённый количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придётся рисовать сплошную линию — иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью, сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели «на одно лицо».
И всё же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.
У английского писателя Лоуренса Стерна есть роман «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена». Это весьма своеобычный роман. Повествование ведётся от первого лица, причём герою понадобилось целых двести пятьдесят страниц, чтобы описать своё появление на свет. Лишь в третьей книге мать Шенди разрешается от бремени Тристрамом, джентльменом, а в шестой маленький джентльмен впервые удостаивается чести быть облачённым в штаны.
О странном литературном персонаже вспоминает не кто иной, как Бертран Рассел. Предположим, говорит английский учёный, какой-нибудь новоявленный Тристрам Шенди будет затрачивать по году на описание каждого дня своей жизни. Сумеет ли он накропать мемуары?
Не сумеет, это ясно: человек смертен. А если бы Тристрам Шенди стал вдруг бессмертным? Что тогда? Тогда каждый день найдёт своё отражение в его необычной летописи. Другое дело — странное жизнеописание никогда не закончится. Но каждому дню найдётся соответствующий год, причём количество дней и количество годов в их нескончаемой череде равны, вернее, равномощны. Это бесконечности одного класса. Точно так же последовательность всех чётных чисел равномощна натуральному ряду, включающему и чётные и нечётные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее. А натуральный ряд равномощен множеству всех рациональных чисел.
Как видно, правило «целое не равно своей части» утрачивает силу в странном мире бесконечного. А вот и другой вывод, ещё пуще насмехающийся над немощью человеческой интуиции.
Мы уже выяснили: континуум (совокупность всех без исключения точек отрезка) обладает гораздо большей мощностью, нежели редко стоящие на числовой оси метки натурального ряда или даже множество всех рациональных точек, плотное везде. Тем не менее совершенно неожиданным и поистине ошеломляющим выглядит такой Канторов итог: один ли ангстрем, один ли световой год содержат одинаковое «количество» (речь идёт о бесконечном множестве) точек. Уму непостижимо, но бесконечная прямая вмещает не больше точек, чем конечный отрезок! И ещё один сюрприз: трёхмерная фигура (скажем, куб) не богаче точками, чем двумерная (квадрат), а двумерная поверхность — чем просто линия. Целых три года (с 1871 по 1874) Кантор пытался доказать, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. Мучительные поиски долго оставались безуспешными. И вдруг совершенно неожиданно для себя учёный пришёл к совершенно противоположному результату! Он проделал то самое построение, которое считал неосуществимым. Потрясённый своим открытием, он написал математику Дедекинду: «Я вижу это, но не верю этому». А вскоре убедился, что не только квадрат, но и куб равномощен линии…