Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Фресан Хавьер

ЛЕВИ-СТРОСС: Прекрасно, что дальше?

ВЕЙЛЬ: Аксиомы, определяющие структуру группы, можно использовать при доказательстве теорем, которые будут верны для любых групп при соблюдении необходимых условий. В частности, эти теоремы будут верны для нашей группы преобразований треугольника! Пункт 2 определения группы гласит, что существует нейтральный элемент е такой, что равенство а*е = е*а = а верно для любого а, и в определении не указывается, сколько элементов группы обладают этим свойством. Но в пункте 3 определения подразумевается, что он единственный — в противном случае потребовалось бы уточнить, какому из нейтральных элементов равна композиция произвольного элемента и обратного ему. Докажем, что нейтральный элемент является единственным. Допустим,

что существуют два нейтральных элемента, е₁ и е₂. Требуется доказать, что е₁ = е₂. Рассмотрим произведение е₁ * е₂.

С одной стороны, е₁ — нейтральный элемент, поэтому он не изменяет значение элемента, записанного слева от него. Следовательно, е₁ * е₂ = е₂. С другой стороны, е₂ — также нейтральный элемент, следовательно, при умножении любого элемента на е₂ этот элемент не изменится. Таким образом, е₁ * е₂ = е₁ Мы доказали, что е₁ * е₂ одновременно равняется е₁ и е₂, следовательно, е₁ и е₂ должны быть равны.

Единственность нейтрального элемента. В любой группе существует только один элемент, для которого выполняется равенство а*е = е*а = а для любого а на множестве G.

ЛЕВИ-СТРОСС: Обратные элементы также будут единственными?

57

ВЕЙЛЬ: Конечно! Как и раньше, предположим, что существует два элемента b₁ и b₂ такие, что а*b₁ = b₁*а = е и а*b₂ = b₂*а = е. Получим, что а * b₁ = а * b₂ так как обе части равенства в свою очередь равны е. Это равенство по-прежнему будет корректным, если мы умножим обе его части на b₁ Получим

b₁ * а * b₁ = b₁ * а * b₂

Напомню, что в произведении трех элементов скобки можно расставить как угодно. Так,

b₁ * а * b₁ = (b₁ * а) * b₁ = е * b₁ = b₁

поскольку b₁* а = е, где е — нейтральный элемент. Аналогично,

b₁ * а * b₂ = (b₁ * а) * b₂ =e*b₂ = b₂

Так как оба выражения равны, имеем: b₁ = b₂ В силу этого свойства элемент b можно считать обратным а и записать b = а^{– 1}

Я очень рад, что вы задали этот вопрос, поскольку при ответе я упомянул одно утверждение, которое нам очень пригодится в будущем. Обратите внимание, что из равенства а * b₁ = а * b₂ мы вывели, что b₁ = b₂ Это свойство общее для всех групп: если результаты умножения двух элементов на третий элемент (в том же порядке) совпадают, то два исходных элемента равны.

Закон сокращения. Если в группе G выполняется одно из равенств

а * b = а * с или b * а = с * а, то b = с.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но как это доказать?

ВЕЙЛЬ: Очень просто: достаточно повторить действия, которые мы уже выполнили. Допустим, дано равенство а * b = а * с. Согласно аксиоме теории групп под номером 3 для элемента а существует обратный элемент, который к тому же будет единственным. Обозначим его через a^{– 1}. Равенство по-прежнему будет верным, если мы припишем в каждую его часть слева a^{– 1}. Имеем:

a^{– 1} * а * b = a^{– 1} * а * с.

Теперь можно использовать свойство ассоциативности и сгруппировать элемент а и обратный ему. Так как a^{– 1} * а равно е, то, с одной стороны,

а^{– 1} * а * b = = (a^{– 1} * а) * b = е * b = b,

с другой стороны,

a^{– 1}*а*с = (a^{– 1}*а)*с = е*с = с,

поэтому обязательно будет выполняться соотношение b = с. Если исходное равенство будет записано не в виде a*b = a*c, а в виде b * а = с * а, достаточно будет провести аналогичные рассуждения, но приписать обратный элемент не слева, а справа.

58

ЛЕВИ-СТРОСС: А для чего нужно это свойство?

ВЕЙЛЬ: Оно, в частности, позволяет доказать, что таблица умножения конечной группы — это латинский квадрат. Напомню: латинский квадрат — это таблица чисел, в каждой строке и в каждом столбце которой записаны все элементы группы.

Обозначим их через а₁ а₂... а_n. Приведем доказательство для второго столбца таблицы; для любого другого столбца оно будет аналогичным. Какие элементы записаны во втором столбце? Те, что определяются умножением а₂ на все элементы группы, то есть а₂ * а₁, а₂ * a₂, а₂ * а₃ ... и так далее до а₂ * а_n. Допустим, что два выражения из этого списка равны, то есть существуют два индекса j и k такие, что а₂ * а_j = а₂ * a_k. Так как а₂ приводится в обеих частях выражения, по закону сокращения имеем а_j = a_k. Таким образом, в этом столбце нет двух одинаковых элементов!

Но так как группа состоит из n элементов, а в столбце таблицы нужно записать n неповторяющихся элементов, то в этом столбце будут записаны все элементы группы! Понимаете?

ЛЕВИ-СТРОСС: Для строк это свойство доказывается аналогично — достаточно поменять множители местами.

ВЕЙЛЬ: Вы определенно делаете успехи, господин Леви-Стросс. Мне кажется, вы готовы ко встрече с новыми группами. Помните, совсем недавно я говорил, что групповая операция на множестве из трех элементов определяется единственным образом? Теперь я объясню, почему это так, но прежде чем изучить случай с тремя элементами, рассмотрим группы порядка 1 и 2. Я уже объяснял, что такое порядок группы? По-моему, нет. Для конечных групп порядком называется число элементов группы.

ЛЕВИ-СТРОСС: Но мы уже дали порядку другое определение, не так ли?

ВЕЙЛЬ: И да, и нет. В примере с преобразованиями треугольника я говорил, что R имеет порядок, равный трем, так как три поворота фигуры на 120°, выполненные последовательно, не изменяют ее. В общем случае порядок элемента равен n, если, выполнив операцию над этим элементом n раз (или возведя его в степень n), мы получим тождество. Вам может показаться, что это определение не имеет ничего общего с предыдущим, но сейчас я продемонстрирую, что это не так.