Православное мировоззрение и современное естествознание

Священник Тимофей

Попробуем определить закон изменения концентрации 14С в атмосфере, исходя из следующих простых предположений:

1. Будем считать, что скорость образования постоянна во времени и равна нынешнему значению и = 2,5·10^4 атомов/м2·с. Здесь мы пренебрегаем тем, что солнечная активность может меняться со временем, а также и тем, что защищенность атмосферы от солнечного излучения также может быть разной в разные времена. По окончании расчета мы постараемся хотя бы качественно учесть влияние этих факторов.

2. Будем считать скорость распада строго пропорциональной концентрации изотопа, т.е. в любой момент времени будем полагать

 v = kс, (1)

где v – скорость

распада в тех же единицах, что и u – скорость образования, с – концентрация 14С в данный момент, k – постоянный коэффициент, не зависящий от времени, что строго говоря неверно, если скорость света меняется.

3. Начальную концентрацию 14С в атмосфере примем равной нулю. Если верно соотношение (1), то распад 14С должен происходить по обычному закону радиоактивного распада:

 с = c0·exp(– kt). (2)

По этой формуле можно найти связь между коэффициентом k и периодом полураспада Т(0,5). Действительно, по определению Т(0,5):

0,5с0 = c0·exp(– kТ(0,5)).

Откуда:

 k= – ln0,5/Т(0,5). (3)

Таким образом, зная период полураспада, будем полагать известным и k. Теперь постараемся вывести закон изменения концентрации 14С в атмосфере земли, а с использованием его и известных на сегодняшний день значений скоростей образования и распада, определим возраст атмосферы земли в нашей модели.

В произвольный момент времени t выделим некоторый малый промежуток dt, в продолжение которого концентрация 14С изменится так мало, что скорость распада останется практически неизменной. За это время концентрация с изменится на dc<<c. Найти это приращение концентрации можно как разность между образованием и распадом. За время dt образуется udt атомов углерода, а распадется vdt. Таким образом:

dc = udt – vdt

или, используя (1):

dc = udt – kcdt.

Поделив обе части на dt, получим:

 dc/dt = u – kc (4)

или в иных обозначениях:

с' = u – kс.

Если теперь мы перейдем к пределу при dt стремящемся

к нулю, наше приблизительное равенство станет строгим. Когда в курсе математики вводится понятие производной, проделываются аналогичные операции над малыми приращениями аргумента и функции.

Полученное нами уравнение является простейшим дифференциальным уравнением. Его решением является не число, а функция, т.е. формула зависимости с от t.

Дифференциальных уравнений в средней школе не решают, но мы постараемся угадать решение такого простого уравнения, вспомнив свойства показательной функции.

Уравнение (4) показывает нам такую функцию, производная которой пропорциональна ей самой. Вы уже знаете, что это свойство показательной функции.

Для удобства решения (4) произведем в нем замену переменной. Введем новую переменную

 z = и – kс. (5)

Возьмем производную от обеих частей:

 z' = – kc. (6)

Теперь подставим в (4) и получим:

 z' = – kz. (7)

Мы догадываемся, что функция z есть экспонента.

И действительно, уравнению (7) удовлетворит любая функция вида z = A·exp(-kt), в чем легко убедиться, взяв от нее производную. Нужно только полагать, что постоянная А не зависит от времени.

Чтобы теперь найти нужное из множества решений дифференциального уравнения – иными словами, чтобы определить нужное нам значение постоянной А, используем начальное условие.

Но для этого вернемся к прежней переменной с вместо z. Получим:

 и – кс = A·exp(– kt) (8)

Наше начальное условие есть предположение о том, что при при t=0 и с=0. Подставив эти значения в (8), получим, что А = и. Иными словами,

 и – kс = и·exp(– kt) (9)

или, разрешая относительно с:

 c = (u/k)·(1 – exp(– kt)) (10)

График этой функции очень похож на зависимость скорости изменения концентрации от времени, который мы уже разбирали на уроке (рис. 10). Ясно, что так и должно быть, если скорость пропорциональна концентрации, т.е. производная функции пропорциональна ей самой. Концентрация стремится к своему равновесному значению. При этом равновесном значении скорости образования и распада станут равными, и концентрация, соответственно, меняться не будет.