Программирование игр и головоломок

Арсак Жак

Ничего нового с точки зрения программирования, за исключением того, что нужно исследовать восемь направлений перемещения вместо четырех.

4. Игры со стратегией

Игра 16. Числа Спрага-Грюнди

В большинстве нижеследующих игр два игрока делают ходы по очереди, и выигрывает тот, кто достигает некоторой намеченной в начале игры позиции. В той игре, которую мы обсуждаем сейчас, позиция может быть полностью охарактеризована числом оставшихся спичек, и выигрывающая позиция соответствует числу спичек, равному нулю. Спраг и Грюнди предложили (соответственно в 1936 и 1939 годах) связывать с каждой игровой позицией неотрицательное целое число следующим образом:

— выигрывающей позиции вы сопоставляете 0;

—

данной игровой позиции вы сопоставляете наименьшее неотрицательное целое, отличающееся от чисел, связанных с позициями, которые могут быть достигнуты, исходя из данной.

Образуем числа Спрага-Грюнди для этой игры.

Позиции 0 сопоставляется число 0, SG (0) = 0.

Исходя из 1, можно получить 0 (поскольку мы имеем право удалить одну спичку [19] . Следовательно, SG(1) — наименьшее неотрицательное целое, отличное от 0, или SG(1) = 1. Исходя из 2, можно получить 1 и 0. Следовательно, SG(2) — наименьшее неотрицательное целое, отличное от 0 и 1, поэтому SG(2) = 2.

19

Важно и то, что никаких других позиций, кроме 0, из 1 получить нельзя. — Примеч. ред.

Так как можно удалять спички вплоть до 6, то точно так же имеем

SG(3) = 3, SG(4) = 4, SG(5) = 5, SG(6) = 6.

Предположим теперь, что имеется 7 спичек. Можно удалить от 1 до 6. Поэтому в результате можно получить от 6 до 1 спичек, но не 0. Число SG(7) — наименьшее неотрицательное целое, отличное от 1, 2, 3, 4, 5, 6, Следовательно, это 0.

SG(7) = 0,

А теперь из 8 можно получить от 2 до 7, поэтому SG(8) — это не 2, не 3, …, не 6 и не 0, поэтому оно равно 1.

SG(8) = 1.

Теперь вы можете установить общий закон:

SG(p) = остаток от деления p на 7.

Как же выигрывать?

Если вы после своего хода можете оставить кучу, для которой число Спрага-Грюнди равно 0, то ваш противник не сможет достичь ситуации с числом нуль, поскольку по определению число, которое он оставит, отлично от исходного числа. Поскольку он не сможет достичь ситуации p с SG (p) = 0, то он и не может выиграть. Ему придется оставить вам ситуацию с SG(p) /= 0, исходя из которой, вы всегда сможете получить ситуацию с числом Спрага-Грюнди, равным нулю. Следовательно, вам нужно оставлять вашему противнику число спичек с числом SG, равным нулю, иначе говоря, число спичек, кратное 7.

Одно из двух: либо ваш противник не знает этого правила и играет «по нюху»; при первой возможности вы оставляете ему кратное 7 и из ежовых рукавиц не выпускаете; либо он знает правило и ходит первым: он достигает кратного 7. Вы не сможете выиграть, если он не рассеян или не сделает ошибки в счете. Но компьютер не рассеян и не делает ошибок в счете (если ваша программа верна)…

Игра 17.

Выигрывающее положение — 31 декабря. Возьмите листок бумаги в клетку. Расположите по абсциссе месяцы, а по ординате дни. Так как 31 декабря выигрывает, то вы обозначаете эту точку числом Спрага-Грюнди 0. Из каждого дня декабря можно получить 31, но также и любой другой последующий день. Поэтому вы приписываете значение 1 дате 30 декабря, значение 2 дате 29 декабря, и т, д. То же для любого 31 числа; из него можно получить 31 число всех последующих месяцев. Поэтому 31 октября получает 1, 31 августа 2 и т. д.

После этого вы можете закончить значение таблицы и приписать число Спрага-Грюнди всем дням года. Вы увидите также появление дней со значением 0, которые являются выигрывающими днями. Напоминаю вам правило: каждому игровому положению приписывается наименьшее неотрицательное целое значение, отличное от значений тех положений, которые можно получить, исходя из данного, т. е. в настоящем случае — от значений тех положений, которые расположены правее, и тех, которые расположены ниже.

Закон заполнения

таблицы достаточно сложен; и я не пытаюсь вам его сформулировать. Как только октябрь заполнен, появляется простая закономерность, которая дает соотношение между номером дня и номером месяца для выигрывающих положений.

Даже если вы мало знаете современную математику, вы слышали разговоры об отношении эквивалентности. Все выигрывающие положения эквивалентны. Игровое положение задается парой д, м, где д — номер дня, а м — номер месяца. Следовательно, вы должны найти такое отношение эквивалентности для пар натуральных чисел, чтобы

д, м' было не эквивалентно д, м при м /= м', и

д', м было не эквивалентно д, м при д /= д'.

Наконец, для выигрывающей позиции д, м должно быть эквивалентно 31, 12. Что-то похожее на это можно видеть в программах лицеев…

Я прекрасно понимаю, что календарь осложняет все, поскольку длина месяца не постоянна и зависит от м, причем к тому же с непростым законом изменения. Но, к счастью, оказывается, что это никак не сказывается на этом замечательном отношении эквивалентности.

После всего сказанного вы должны выпутаться из этой задачи…

Игра 18.

Эта игра — производная от средневековой игры. Сначала попытайтесь достичь 50 с точностью до кратного 7. Но как только все четыре карты, имеющие одинаковое значение, оказываются использованными, так ситуация сразу меняется. Вот пример начала партии,

Я беру туза, компьютер тоже. Сумма 2.

Чтобы получить 8, я беру 6. Компьютер берет туза. Сумма 9.

Чтобы получить 15, я снова беру 6.

Компьютер берет последнего туза. Сумма 16,

Теперь остаются следующие карты:

2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6

Так как тузов больше нет, то числа Спрага-Грюнди изменились [20] . Теперь из 49 больше нельзя получить 50.

SG(50) = 0, SG(49) = 0.

Из (48) можно получить 50. Поэтому SG(48) = 1.

Из 47 можно получить 49 и 50, но не 48. Поэтому SG(47) = 1.

Теперь положения, имеющие нулевое SG, — это

42 41 34 33 26 25 18 17

20

Читатель может вернуться к определению чисел Спрага-Грюнди и убедиться, что эти числа определяются на множестве игровых позиций раз и навсегда, исходя из правил игры, и, разумеется, не могут меняться в процессе разыгрывания конкретной партии. Что же является позицией в этой средневековой игре? — Позицией является состав выложенных на стол карт, а также их значения: сколько карт на столе имеет значение 1, сколько карт имеет значение 2, и т. д. Сумма, набранная игроками в данный момент, равна 84 минус сумма значений карт на столе. Что же имеет в виду автор книги, когда он пишет SG(50)? Почему он приписывает число Спрага-Грюнди не позиции, а сумме карт этой позиции? Дело в том, что для всех позиций с набранной суммой 50 число Спрага-Грюнди одинаково и равно 0. Это и позволяет написать равенство SG(50) = 0. А что могло бы значить SG(49)? Если бы все позиции с суммой 49 имели одинаковое число SG, мы бы обозначили его SG(49). Но, увы! Разные позиции с суммой 49 имеют разные числа Спрага-Грюнди. Так что автор книги дальше рассуждает о несуществующих вещах. Я из этих рассуждений ничего полезного извлечь не смог (кроме подозрения, что у автора нет работающей программы, играющей в 24 карты). — Примеч. ред.