Развлечения со спичками
Шрифт:
Решение
Ведя расчет с конца, вы без труда раскроете секрет беспроигрышной игры. Он состоит в том, чтобы, начиная игру, взять 2 спички; при следующих же ваших ходах вы оставляете в кучке 25, 20, 15, 10, наконец 5 спичек; тогда последняя спичка будет непременно ваша. Другими словами: берите каждый раз столько спичек, чтобы ваша взятка вместе с предыдущей взяткой партнера составляла 5 спичек.
Указанное правило годится и в том случае, если взявший последнюю спичку считается проигравшим, но только при первом ходе вы должны взять тогда не 2, а 1 спичку.
Немного алгебры.
Игры подобного рода могут
Читатели, которые чувствуют себя неподготовленными сопровождать нас, могут прямо перейти к следующей статейке.
Итак, пусть число спичек в куче а, а наибольшая взятка, какая разрешается условиями игры — n. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Составим частное:
a/(n+1)
Если оно не дает остатка, то надо предоставить начинать игру своему партнеру и брать каждый раз столько, чтобы общее число спичек, взятых обоими от начала игры, последовательно равнялось
n + 1; 2(n+1); 3(n+1); 4(n+1) и т. д.
Если же при делении — a/(n+1) получается остаток, который обозначим черезr, то вы должны начать игру сами и в первый раз взять r спичек, а в дальнейшем держаться чисел:
r + (n + 1); r + 2(n + 1); r + 3(n + 1) и т. д.
Ради упражнения попробуйте применить указанные правила к следующим частным случаям (выигравшим считается взявший последнюю спичку):
1) число спичек в кучке 15; взятка — не свыше 3;
2) число спичек 25; взятка не свыше 4;
3) число спичек 30; взятка не свыше 6;
4) то же, но взятка — не свыше 7.
Разумеется, когда секрет беспроигрышной игры известен обоим партнерам, то выигрыш предрешен, и игра утрачивает смысл.
Задача 26-я
В этой игре также начинают с составления кучки (из 27 спичек) и назначают наибольший размер взятки 4 спички. Но конец игры непохож на конец предыдущих игр: здесь считается выигравшим тот, у кого по окончании игры окажется четное число спичек.
И в этом случае существует секрет беспроигрышной игры. Какой?
Решение
Начав рассчитывать с конца, вы найдете следующий способ беспроигрышной игры: если у вас уже имеется нечетное число спичек, то при дальнейших взятках вы должны оставлять противнику всякий раз такое число спичек, которое на 1 меньше кратного [4] 6 — т.-е. 5 спичек, 11, 17, 23. Если же у вас взято четное
4
Число называется "кратным" другого числа, если делится на него без остатка. Напр., число 18 кратно 6, число 35 кратно 7, число 100 кратно 25.
Владея этим секретом, вы можете выиграть, даже если и не вы начали игру. Когда же начинать приходится вам, то считайте, что у вас взято 0 спичек: нуль принимайте за число четное (ведь за ним следует нечетное число — один) и поступайте согласно указанным правилам.
Интересно еще рассмотреть вопрос о беспроигрышной игре, если условие конца игры было другое: выигрывает тот, у кого нечетное число спичек. В этом случае указанные раньше правила нужно применять наоборот: при четном числе имеющихся у вас спичек оставлять противнику на 1 меньше кратного 6-ти, при нечетном числе — кратное 6-ти или на 1 больше. Начиная игру, вы оставляете противнику в этом случае 23 спички.
Эта старинная игра представляет собою усложненное видоизменение предыдущих. На стол кладут три кучки спичек; в каждой кучке может быть любое число спичек, но не больше 7-ми (одна спичка тоже называется в этой игре «кучкой"). Игра состоит в том, что играющие берут по очереди из одной кучки любое число спичек (можно и все взять), но только из одной какой-нибудь кучки, по желанию берущего.
Кто возьмет последнюю спичку со стола, тот считается выигравшим.
Рассмотрим пример. Первоначальное распределение спичек по кучкам, предположим, таково:
Затем, по мере того, как играющие поочередно берут то из одной, то из другой кучки несколько спичек, последовательные изменения в числе спичек будут такие:
Кто возьмет эту последнюю спичку, тот выигрывает.
Здесь также существует секрет беспроигрышной игры. Доискаться его самому вам едва ли удастся (теория "нима" очень сложна); поэтому мы сообщим его, хотя и без обоснования. Надо играть так, чтобы после вашего хода на столе оставалась одна из следующих семи комбинаций спичек:
Числа подобраны так, что, каково бы ни было первоначальное расположение, всегда возможно привести его к одному из сейчас указанных отнятием спичек из одной кучки. Необходимо только указать еще, что делать, если число спичек и одной из кучек сделалось равным нулю, т.-е. если кучка исчезла.
Тогда надо взять столько спичек, чтобы обе оставшиеся кучки уравнялись по числу спичек. Играя по этим правилам, вы непременно выиграете, т.-е. возьмете последнюю спичку. Например, в сейчас рассмотренном случае, если бы первый ход был ваш, вы должны были бы вести игру так: