Статьи и речи
Шрифт:
Когда один вектор является функцией другого вектора, отношение первого ко второму является вообще кватернионом, представляющим собой функцию второго вектора.
Когда второй вектор изменяется лишь по величине, а первый всё время ему пропорционален и остаётся постоянным по направлению, мы имеем важный случай линейной функции. Первый вектор тогда называется линейной векторной функцией второго.
Если , , — декартовы компоненты первого вектора, а a, b, c — компоненты второго, то
=r
1
a+q
3
b+p
2
c,
=p
3
a+r
2
b+q
1
c,
=q
2
a+p
1
b+r
3
c,
где
Можно заметить, что даже здесь, где мы, казалось бы, достигли чистых сфер науки, не запятнанных физическими приложениями, один из векторов необходимо есть линия, тогда как другой определяется как нормаль к плоскости, как и во всех других, уже упомянутых парах векторов3*.
Другое различие между физическими векторами основано на ином принципе и разделяет их на векторы, определяемые по отношению к вращению. На замечательные аналогии между этими двумя классами векторов указал Пуансо в своём труде о движении твёрдого тела. Но наиболее замечательная иллюстрация этих аналогий основана на двух различных точках зрения, с которых можно рассматривать связь между электричеством и магнетизмом.
Гельмгольц показал нам в своей знаменитой работе о вихревом движении, как провести аналогию между электромагнитными и гидро-кинетическими явлениями, в которых магнитная сила представлена скоростью жидкости, родом поступательного движения, а электрический ток представлен вращением элементов жидкости. Он не предлагает этого в качестве объяснения электромагнетизма, так как хотя эта аналогия и совершенна по форме, но динамика обеих систем чрезвычайно различна.
Согласно Амперу и его исследованиям, электрические токи рассматриваются, однако, как род поступательного движения, а магнитная сила — как сила, зависящая от вращения. Я вынужден согласиться с этой точкой зрения, так как электрический ток связывается с электролизом и другими явлениями, в которых, несомненно, мы имеем поступательное движение, тогда как магнетизм связан с вращением плоскости поляризации света, которое, как показал Томсон, заключает в себе действительное вращательное движение.
Гамильтоновский оператор , применённый к любой векторной функции, превращает её из поступательного движения во вращение или из вращения в поступательное движение, в зависимости от рода вектора, к которому он применяется.
В заключение я предложу на рассмотрение некоторые математические термины, служащие для обозначения результатов гамильтоновского оператора . Я буду очень признателен тому, кто даст мне какой-нибудь совет по этому вопросу, так как я чувствую, что моя способность к установлению наименований очень слаба и что она может с успехом осуществляться лишь в сотрудничестве с другими.
есть операция
i
x
+j
y
+k
z
где i, j, k — единичные векторы, параллельные соответственно x, y, z. Результатом двукратного повторения на любом объекте этой операции является хорошо известный оператор (Лапласа):
^2=
^2
x^2
+
^2
y^2
+
^2
z^2
.
Нахождением
Прежде всего я предлагаю назвать результату ^2 (оператор Лапласа) с обратным знаком концентрацией величины, к которой она применена.
Действительно, если Q есть скалярная либо векторная величина, являющаяся функцией положения точки, и если мы возьмём интеграл Q по объёму шара радиуса r, то, разделив его на объём шара, мы получим Q, среднее значение Q внутри шара. Если Q0 есть значение Q в центре шара, то при малом r
Q
0
–
Q
=Cr
2
2
Q,
т.е. значение Q в центре шара превышает среднее значение Q внутри шара на величину, зависящую от радиуса и от ^2Q. Поэтому раз ^2Q означает избыток значения Q в центре над его средней величиной внутри шара, то я назову его концентрацией Q.
Если Q — величина скалярная, то и концентрация её — скаляр. Так, если Q — электрический потенциал, то ^2Q есть плотность вещества, создающего потенциал.
Если Q — векторная величина, то Q0 и Q — векторы и ^2Q — также вектор, выражающий собой избыток равномерно распределённой силы Q0 приложенной ко всему веществу шара, над результирующей действительной силы Q, действующей на все части шара.
Рассмотрим затем гамильтоновский оператор . Применим его сначала к скалярной функции P. Величина P есть вектор, указывающий направление, в котором P наиболее быстро уменьшается, и измеряющий степень этого уменьшения. Я решаюсь, с большой осторожностью, называть это падением (slope) P. Ламе называет величину выражения P «первым дифференциальным параметром» P, но направлением вектора P он не интересуется. Нам нужен термин, имеющий векторный характер и который, одновременно указывая направление и величину, в то же время не употреблялся бы ещё в другом математическом смысле. Я взял на себя смелость, распространить обычный смысл слова падение (slope), взятого из топографии, где по отношению к трёхмерному пространству употребляются лишь две независимые переменные.
Если изображает векторную функцию, то а может одновременно заключать скалярную и векторную части, которые могут быть написаны как S и V.
Я предлагаю назвать скалярную часть конвергенцией4 потому, что если описать вокруг любой точки замкнутую поверхность, то поверхностный интеграл , выражающий действие вектора , рассматриваемого как втекание потока через поверхность, равен объёмному интегралу S заключённому в этой замкнутой поверхности пространству. Поэтому я считаю, что конвергенция векторной функции является очень подходящим названием для действия этой векторной функции, заключающегося в продвижении представляемого им объекта внутрь, к одной точке.