Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики
Шрифт:
Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза» (англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы привели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рассказывается об известной личности.
Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в нашем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито. Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математические бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие весьма необычными
Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой, но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя, а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометрической точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёбиуса.
Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он должен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:
(x2 + у2 + z2 + 2у — 1)·[(x2 + у2 + z2 — 2y — 1)2 — 8z2] + 16xz(x2 + y2 + z2 — 2y — 1) = 0
Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово «бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное название стало в научном мире общепринятым.
Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в интернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.
Глава 3
Анализ
А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.
А что такое эти самые исчезающие приращения?
Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули.
Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?
Епископ Джордж Беркли (1685–1753)
Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst, 1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа, посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел в виду Эдмунда Галлея (1656–1742), который славился своей недоверчивостью.
В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчисления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезосновательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непонятны, то не следует
Прошли годы и даже столетия, доверие к математическому анализу было восстановлено благодаря более строгим и четким, но менее интуитивным определениям. Тем не менее не стоит забывать слова Беркли, превосходного философа-эмпирика (его именем назван знаменитый американский университет). Напротив, следует отдать ему дань уважения за грамотную и обоснованную критику.
Методы, описанные Ньютоном и Лейбницем, открыли множество путей в науке и вместе с тем породили множество анекдотичных ситуаций. Приведем некоторые из них.
Портрет епископа Джорджа Беркли кисти Джона Смайберта.
Очевидно, что гипотеза и теорема — не одно и то же. Гипотеза обретает статус теоремы только после доказательства, однако довольно долго это не учитывалось.
Рассмотрим, например, труды Иоганна Кеплера (1571–1630). Все мы не раз почтительно отзывались о его законах, которые представляют собой эмпирические выводы, основанные на таблицах Тихо Браге (1546–1601). Эти законы можно назвать гениальными, они широко известны в научном мире и точно описывают движение небесных тел, хотя для них не приводится какого-либо математического доказательства. Сегодня, с вершин нашего знания, можно сказать, что это были три блестящие гипотезы, но не три теоремы.
Лишь Исаак Ньютон (1643–1727) через 50 с лишним лет расставил все по своим местам. Именно он, применив элементарные законы дифференциального и интегрального исчисления к механике, вывел три закона Кеплера исходя из фундаментальной гипотезы — закона обратных квадратов, согласно которому два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Раз уж мы заговорили о Ньютоне, который отличался особой мрачностью и неразговорчивостью, то расскажем о нем одну историю (разумеется, апокрифическую), в которой ученый предстает более человечным. У Ньютона была собака по кличке Даймонд (это действительно подтверждается разными источниками), которой он в шутку приписывал способности к математике. Как-то раз в разговоре с Валлисом Ньютон в шутку заметил: «Сегодня до завтрака Даймонд доказал две теоремы». Валлис подыграл ему: «Ваша собака, должно быть, гениальна». Ньютон ответил: «Ну что вы. Одно доказательство содержало ошибку, другое — патологический пример» [1] .
1
В математике патологическим примером называется столь явное отклонение от общего правила, справедливого в остальных случаях, что оно имеет научную (и эстетическую) ценность само по себе.
Как-то раз в 1684 году Эдмунд Галлей, архитектор сэр Кристофер Рен (1632–1723), автор проекта собора Святого Павла в Лондоне, и Роберт Гук (1635–1703), который первым стал использовать термин «клетка», вышли с собрания Королевского общества, зашли в кафе и завели разговор о том, какую форму имеет траектория планеты, притягиваемой Солнцем с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра масс. Рен даже согласился выплатить денежную премию тому, кто решит эту задачу. Гук заявил, что траекторией планеты будет эллипс, но доказательства этому не привел. Участники встречи разошлись по домам.