Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики
Шрифт:
Что, если мы пойдем еще дальше?
В XX веке было проведено несколько экспериментов, доказывающих, что такое восприятие чисел свойственно не только человеку. Что это можно проследить и у других видов, не только Homo sapiens.
Многие животные обладают естественным чувством количества. Хотя бы для того, чтобы оценить объем пищи, который им нужно накопить, или количество хищников, которых им нужно избежать, чтобы выжить. Их чувство величины довольно
Условия экспериментов с животными и интерпретация их результатов требуют гораздо более тонкого и тщательного подхода. С лошадьми, птицами или шимпанзе невозможно вести прямой диалог, подробно объяснить им правила эксперимента или заставить их понять цель того, что они делают. Однако некоторые факты поражают, потому что, похоже, некоторые животные воспринимают числа мультипликативно.
Вот пример эксперимента с крысами. Несколько особей поместили в клетки, внутри которых находились два рычага. Затем исследователи регулярно подавали крысам серию звуковых сигналов. Иногда два сигнала, иногда – восемь. Когда было всего два звуковых сигнала, крысам давали пищу при условии, что они нажимали на первый рычаг. Когда сигналов было восемь – при нажатии на второй рычаг. Некоторое время спустя грызуны поняли принцип и научились правильно нажимать на рычаг в зависимости от количества звуковых сигналов.
После того как крысы научились работать с рычагами, начался сам эксперимент. Что произойдет, если изменить количество звуковых сигналов? После трех сигналов, немного помедлив, крысы шли к первому рычагу, как в случае с двумя звонками. После пяти, шести или семи сигналов крысы выбирали второй рычаг, как в случае с восемью. Но после четырех сигналов они запутались! Половина крыс нерешительно подходила к первому рычагу, а другая половина – ко второму. Как будто для них число четыре оказывалось посередине между двумя и восемью, делая их выбор совершенно случайным.
Без сомнения, вы уже догадываетесь, какой напрашивается вывод: мультипликативно 4 находится посередине между 2 и 8. Если бы крысы рассуждали аддитивно, их смутила бы цифра 5. Но камнем преткновения для них стало все же число 4.
Подобные эксперименты проводились с другими наборами чисел и другими животными. Конечно, трудно понять, что происходит в головах этих маленьких существ, и результаты порой дают серьезную погрешность. Но несомненно одно: каждый раз животные терялись, когда сталкивались с числами, которые находятся в середине какого-либо отрезка с точки зрения мультипликативности, а не аддитивности.
Пытаясь выяснить сами истоки нашего понимания чисел, мы неизбежно приходим к одному и тому же выводу: наше естественное чувство величин преимущественно мультипликативно.
Тем не менее очевидно, что ни один мозг, будь то человеческий или животный, не даст точных ответов на поставленные вопросы без обучения. Мультипликативное мышление не является ни осознанным, ни точным. Полученные результаты спонтанны и интуитивны, как и ваша первая интуитивная реакция, когда вы поместили миллион в середину отрезка от тысячи до миллиарда. Они не свидетельствуют о математических знаниях, а просто демонстрируют работу врожденного, по-видимому, механизма, который наделяет нас преимущественно мультипликативной интуицией на числа.
Аналогичные тесты проводились со взрослыми американцами,
Таким образом, аддитивный подход не так спонтанен. По большому счету это всего лишь привычка, выработанная в детстве. В своей статье 1938 года Фрэнк Бенфорд писал: «Мы так привыкли все нумеровать как 1, 2, 3, 4…, при этом считая это естественным порядком вещей, так что сама идея принять нумерацию вида, допустим, 1, 2, 4, 8… кажется невозможной».
Возможно, вам все еще трудно это принять. Трудно отказаться от воспитываемого в нас аддитивного подхода. Если это так, не беспокойтесь, читайте дальше, позвольте себе увлечься. Вы увидите, как это увлекательно – открывать для себя новый способ мышления.
Однако возникает вопрос: если наша врожденная интуиция мультипликативна и если она больше подходит для осмысления окружающего нас мира, то почему мы так стараемся изгнать ее из наших умов? Зачем навязывать себе аддитивное мышление, которое меньше соответствует реальности? Неужели школьная математика оттолкнула нас от здравого смысла, заменив его искусственным и неадаптивным мышлением?
Стоит ли отказываться от аддитивного мышления?
Ответ – нет. Само по себе аддитивное мышление нельзя отбросить. Оно даже полезно во многих ситуациях. Когда в следующий раз вы будете рассчитываться на кассе в магазине, вы явно предпочтете сложение умножению. Также очевидно, что нет смысла убеждать вас, что, несмотря на все, что мы только что узнали, сложение и вычитание по-прежнему являются неотъемлемой частью нашей повседневной жизни: не настолько, как мы привыкли думать, но все же достаточно.
Кроме того, само умножение нуждается в сложении. Мультипликативный характер нашей интуиции сам по себе вовсе не облегчает понимание математики умножения. Без изучения математики свой интуитивный потенциал полностью реализовать невозможно. И для этого очень важно хорошо усвоить сложение, чтобы затем перейти к более глубокому изучению умножения.
Итак, как же лучше сравнить два числа?
На этот вопрос нет абсолютного и окончательного ответа. Решает только контекст. И иногда выбор сделать трудно. Существуют неоднозначные и спорные ситуации, в которых нет наилучшего варианта. Сложение и умножение просто предлагают два разных, но комплементарных взгляда на числа.
Такой вывод может показаться неудачным. В конце концов, разве математика не должна давать точные и окончательные ответы? Как точная наука может руководствоваться подходом «зависит от»? Под этим кажущимся парадоксом скрывается вся творческая неоднозначность математики. Этих «зависит от» в математике бесконечное множество. И именно благодаря им она превращается в территорию свободы и творчества. Математика неоднозначна, многоаспектна, относительна, и это делает ее еще лучше.
Принять эту относительность и научиться с ней играть – значит найти неиссякаемый живительный источник открытий и инноваций. Математика предлагает тысячи различных инструментов для решения одного и того же вопроса. И эти инструменты как клавиши пианино. Знать их – это сольфеджио, уметь на них играть – искусство. Спросить, лучше ли сравнивать два числа с помощью сложения или умножения, все равно что спросить, в какой тональности лучше сочинять мелодию: соль мажор или ля минор. Делайте свой выбор. Возможно, он не всегда будет удачным, но это не имеет значения.