Том 19. Ипотека и уравнения. Математика в экономике

Салес Жузеп

Иногда клиент хочет прибавить полученные проценты к вкладу, чтобы на них также начислялись проценты. В этом случае речь идет о так называемых сложных процентах. Рассмотрим предыдущий пример снова, несколько его изменив. В конце первого года клиент помещает на счет вклада итоговую сумму в 1060 денежных единиц. В конце второго года его капитал будет равен 1123,60, так как, помимо 120 денежных единиц, выплаченных в качестве процентов, также будут выплачены 6 % от 60 единиц, вложенных по итогам первого года, то есть дополнительно 3,6 денежной единицы. В конце третьего года итоговый капитал составит 1191,02, то есть рентабельность вложений за весь срок вклада составит 19,10 % — на 1,1 пункта больше, чем если бы использовались простые проценты.

Процентная ставка по кредиту, или доходность капитала, может быть месячной, квартальной или годовой. Следовательно, если номинальная годовая процентная ставка составляет 12 %, но

на сумму кредита ежемесячно начисляется 1 %, и эта сумма добавляется к телу кредита, то итоговая сумма будет отличаться. Поэтому определяется эквивалентная годовая процентная ставка. Эквивалентная годовая процентная ставка по кредиту с годовой процентной ставкой i, проценты по которому начисляются n раз в год (например, ежемесячно), рассчитывается так:

* * *

ОБЩАЯ ФОРМУЛА СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ

Общая формула для расчета сложных процентов за n лет, начисляемых по вкладу или по кредиту с начальной суммой С₀, выводится так: в первый год (n = 1) начисляется сумма процентов, равная С₀•i. Во второй год (n = 2) эта сумма процентов прибавляется к начальному капиталу: С₁ = С₀ + С₀•i = С₀•(1 + i), и так происходит до последнего года.

n = 0; С₀,

n = 1; С₁ = С₀ + С₀•i = С₀•(1 + i),

n = 2; С₂= С₁ + С₁•i = С₀•(1 + i) + С₀•(1 + i)•i = С₀•(1 + i)•(1 + i) = С₀•(1 + i)²,

n = 3; С₃= С₂ + С₂•i = С₀•(1 + i)² + С₀•(1 + i)²•i = С₀•(1 + i)²•(1 + i) = С₀•(1 + i)³

……

n = n; С_n = С₀•(1 + i)ⁿ.

Таким образом, общая формула сложных процентов записывается так: С_n = С₀•(1 + i)ⁿ. Из этой формулы, в свою очередь, можно определить значение процентной ставки i или число периодов n при известных остальных значениях переменной:

С другой стороны, если в формуле С_n = С₀•(1 + i)ⁿ перейти к логарифмам, получим:

Эти

формулы используются как для расчета будущей стоимости капитала, вложенного под определенные проценты, так и для расчета годовой суммы процентов, полученной на вложенный капитал, а также для определения числа лет или периодов времени, по прошествии которых мы получим заданную сумму.

* * *

Если i = 12 % годовых, но проценты начисляются ежемесячно (n = 12), эквивалентная процентная ставка будет равняться

где i = 12 % годовых, n = 12 месяцев.

Если бы проценты начислялись раз в квартал, то эквивалентная процентная ставка равнялась бы

где i = 12 % годовых, n = 4 квартала.

Реальная процентная ставка изменяется под влиянием инфляции. Так, если мы вложим средства в государственные облигации под 5 %, а инфляция составит 3 %, реальная процентная ставка, характеризующая реальный прирост покупательной способности денег, будет определяться как разность между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляции.

Реальная процентная ставка = Номинальная процентная ставка — Уровень инфляции.

Сколько времени должно пройти, чтобы вложенный капитал удвоился

Формула сложных процентов очень проста в использовании. Покажем, как можно вычислить конечную стоимость денег при известных процентной ставке и периоде времени. Например, если мы вложим первоначальный капитал C₀  = 10 000 евро на три года под 5 % годовых, каким будет конечный капитал С₃?

C₀ = 10000 евро; i = 5 % (0,05), n = 3 года.

Применив формулу С₃ = С₀•(1 + i)³ получим:

С₃ = 10000•(1 + 0,05)³  = 10000•1,157625 = 11576,25 евро.

Однако расчет сложных процентов становится труднее, если другие члены этого уравнения неизвестны. Так, перед инвестором может встать вопрос: на какой срок нужно вложить капитал под определенный процент, чтобы вложенный капитал удвоился или чтобы получить определенную сумму?

Рассмотрим простой пример: допустим, мы хотим определить, за какой период времени вложенный капитал в 10000 евро удвоится, если процентная ставка находится на уровне i = 5 %. Зная начальный капитал С₀ = 10000 евро, конечный капитал С_n = 20000 евро и процентную ставку i = 5 %, применим формулу

и получим следующий результат:

< image l:href="#"/>

Логарифмы легко вычислить с помощью инженерного калькулятора, программы наподобие Excel или на интернет-сайтах (для этого введите в строку поиска log х).

* * *

СКОЛЬКО ПРОЦЕНТОВ Я ПЛАЧУ НА САМОМ ДЕЛЕ?

Этим вопросом может задаться, например, покупатель автомобиля, выплачивающий автокредит.

Продавец говорит, что цена автомобиля — 10000 евро, которые нужно выплатить за пять лет, таким образом, общая сумма к уплате, включая проценты, составит 15000 евро. Покупатель хочет узнать, какова процентная ставка по этому кредиту.

Зная число лет n = 5, начальный капитал С₀ = 10000 евро и конечный капитал С_n = 15000 евро, процентную ставку i можно вычислить по формуле