Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике
Шрифт:
24х + х + 40х = 25 — 9 —>
65х = 16 —>
х = 16/65.
Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.
Если вместо последнего условия 4х — 4 мы используем 5х — 3, то получим еще одно корректное решение:
(4х + З)2 + х = (5х — 3)2 —>
16х2 + 24х + 9 + х = 25х2 — 30х + 9.
Сократив
16х2 + 24х + х = 25х2 — 30х.
Поделив обе части на х, имеем:
16х + 24 + 1 = 25х 30 —>
24 + 1 + 30 = 25х — 16х —>
55 = 9х —>
х = 55/9.
Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?
Задача 29 из книги IV
Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:
«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».
И снова мы видим всю гениальность Диофанта:
«Пусть дано число 12. х2 + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.
Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».
Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:
«Найти x1, х2, х3, х4 такие, что
х12 + х22 + х32 + х42 + х1 + х2 + х3 + х4 = n,
где n — данное число».
Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим
х12 + х22 + х32 + х42 + х1 + х2 + х3 + х4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.
Переупорядочив
х12 + х1 + 1/4 + х22 + х2 + 1/4 + х32 + х3 + 1/4 + x42 + х4 + 1/4 = 12 + 1.
Принимая во внимание, что х2 + х + 1/4 = (х + 1/2)2, можно записать следующее:
(x1 + 1/2)2 + (х2+ 1/2)2 + (х3 + 1/2)2 + (х4+ 1/2)2 = 13.
Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».
Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 42 + 32 = 52. Поделив обе части равенства на 52, получим (4/5)2 + (3/5)2 = 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 22, получим (8/5)2 + (6/5)2 = 22, то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З2, получим (12/5)2 + (9/5)2 = З2, то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:
(х1 + 1/2) = 8/5,
(x2 + 1/2) = 6/5,
(x3 + 1/2) = 12/5,
(x4 + 1/2) = 9/5.
Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.
Загадочное примечание
Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: «Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».