Трехмерный мир. Евклид. Геометрия

Коллектив авторов

Пользуясь этим инструментом, Евклид выдвинул два предположения: соотношение площадей либо больше соотношения квадратов диаметров, либо меньше. Запишем оба случая:

(1) S₁/S₂ < d²₁/d²₂ или (2) S₁/S₂ > d²₁/d²₂

В обоих случаях мы приходим к противоречию. Следовательно, соотношение между площадями и квадратами диаметров есть соотношение равенства.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2 ИЗ КНИГИ XII

В случае когда

S₁/S₂ < d²₁/d²₂ (1)

предположим, что существует такая площадь S < S₂, для которой

S₁/S₂ = d²₁/d²₂

Затем рассмотрим площадь Е = S₂– S. Метод исчерпывания гарантирует, что существует некий многоугольник Р₂, вписанный в S₂, который заполняет его так, что S₂– Р₂ < Е = S₂– S. Это приводит к неравенству S < Р₂. Теперь рассмотрим многоугольник Р₂, вписанный в круг (то есть Р₂ < S₁, подобный P₂. Из предложения 1 книги XII мы знаем, что

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ ,

где n = 2^k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем

P¹_n/P²_n = d²₁/d²₂ = S₁/S₂,

где S < Р₂ и Р₂ < S₁, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение

S₁/S₂ > d²₁/d²₂ (2)

и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:

S₁/d²₁ = S₂/d²₂

Возникают

два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S₂, при которой

S₁/S = d²₁/d²₂ .

Это означает, что при данных площадях S₁, d²₁, d²₂ он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА

Во второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа . В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение , приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику

Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна

9^{^2}– 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63

частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 — квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно

= 64/(9/2)^2 = (16/9)^2 = 3.16...

Такое значение , действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур — круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.

Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.

Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.

В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что

(1) S > T, и (2) S < T,

а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.