Веселые задачи. Две сотни головоломок
Шрифт:
Сколько же лет было каждому сыну и каждой дочери?
68. Две свечи
Внезапно погас электрический свет во всей квартире — испортилась проводка. Чтобы не прерывать работы, я зажег две свечи, стоявшие на моем письменном столе на всякий случай, и при их свете занимался до тех пор, пока проводка не была приведена в исправность.
Спустя день мне понадобилось узнать, на сколько именно времени было прервано электрическое освещение. Я забыл отметить по часам, когда выключили свет и когда его включили снова. Не помнил я и длины свеч. Знаю только, что одна свеча была потолще, такие свечи сгорают
— Какой же они были длины? — спрашиваю у них.
— Один был совсем маленький, а другой побольше.
— Во сколько же раз больше? Вдвое?.. Не помните ли этого? — допытывался я.
— Ровно в четыре раза, — ответили мне. Итак, стало известно только то, что один огарок был в четыре раза длиннее другого. Возможно ли на этом основании определить, сколько времени горели свечи?
69. Девятьсот поклонов
В одной школе обучалось вдвое больше девочек, чем мальчиков. Заведующий ввел обычай: ежедневно поутру каждый мальчик должен был делать поклон заведующему, каждому из своих товарищей-мальчиков и каждой девочке, каждая девочка также должна была делать поклон заведующему, каждой своей подруге и каждому мальчику. Этот церемонный обычай строго соблюдался, и поэтому ежедневно утром можно было насчитать 900 поклонов. Сколько было в школе мальчиков и девочек?
70. Наследство раджи
Некий раджа, умирая, оставил свои брильянты сыновьям. В завещании его дети прочитали: старший сын получает 1 брильянт и седьмую долю всех остальных; второй сын получает 2 брильянта и седьмую долю всех остальных; третий сын — 3 брильянта и седьмую долю всех остальных; четвертый — 4 брильянта и седьмую долю всех остальных и т. д. Таким образом наследство было разделено между сыновьями без остатка.
Сколько сыновей было у раджи и сколько он оставил брильянтов?
Решения задач 61-70
61. Сторож рассчитал совершенно правильно: ему действительно причиталось даже более трех тысяч возов яблок, как это ни невероятно.
В самом деле. Проследим, как возрастало вознаграждение сторожа с каждым часом.
За 1-й час сторож должен был получить яблоко, за 2-й час — 2 яблока, за 3-й час — 4 яблока, за 4-й — 8, за 5-й — 16, за 6-й — 32, за 7-й — 64, за 8-й — 128, за 9-й — 256, за 10-й — 512.
Пока еще вознаграждение как будто не грозит арендатору разорением: за первые 10 часов сторожу причиталось всего около полутысячи яблок.
Но продолжим исчисление.
За 11-й час сторожу следовало 1024 яблока, за 12-й — 2048, за 13-й — 4096, за 14-й — 8192, за 15-й — 16 384.
Накапливается внушительное число яблок, но все же до трех тысяч возов еще далеко.
Далее.
За 16-й час следовало 32 768 яблок.
За 17-й —»-»— 65 536 —»—
За 18-й —»-»— 131 072 —»—
За 19-й —»-»— 262 144 —»—
За 20-й —»-»— 524 288 —»—
Арендатор уже должен сторожу свыше полумиллиона яблок. Но сутки не кончены — остается еще 4 часа.
За 21-й надо было уплатить 1 048 576 яблок
За 22-й —»-»-»— 2 097 152 —»—
За 23-й —»-»-»— 4 194 304 —»—
За 24-й —»-»-»— 8 388 608 —»—
Теперь нужно сложить все эти числа от 1 до 8 388 608. Получаем 16 777 215 яблок. Итак, сторожу за одни сутки следовало согласно уговору почти 17 миллионов яблок! Чтобы только пересчитать такое количество яблок
Это составило бы вагонов 80, груженных яблоками, или, считая по полтонны на воз, свыше 3000 возов. Не правда ли, можно было найти сторожа и подешевле?
62. Крестьянка не дала поезду отправиться в путь тем, что смазала маслом рельсы впереди паровоза. По скользким рельсам не могут катиться колеса паровоза; они вертятся на одном месте, но не катятся вперед, так как нет трения, благодаря которому колеса словно цепляются за рельсы. Вспомните, как трудно ходить по гладкому льду: ноги скользят, не находя опоры, и мы не можем сдвинуться с места. По той же причине не мог сдвинуться и паровоз. Когда же машинист уплатил долг, крестьянка «сняла колдовство», посыпав смазанные рельсы песком. История эта, конечно, могла произойти только в давнее время; на современных паровозах имеются специальные песочницы, из которых машинист с помощью особого приспособления высыпает песок на рельсы, когда они становятся скользкими, например, от дождя.
63. Задача решалась бы очень просто, если бы было известно, сколько времени понадобилось шмелю на перелет из сада в родное гнездо. Этого в задаче не сказано, но геометрия поможет нам самим узнать необходимые данные.
Начертим путь шмеля. Мы знаем, что шмель летел сначала «прямо на юг» в течение 60 мин. Затем он летел 45 мин «на запад», т. е. под прямым углом к прежнему пути. Оттуда «кратчайшей дорогой», т. е. по прямой линии — обратно к гнезду. У нас получился прямоугольный треугольник ABC, в котором известны оба катета, АВ и ВС, и надо определить третью сторону, — гипотенузу АС. Геометрия учит, что если какая-нибудь величина содержится в одном катете 3 раза, а в другом — 4 раза, то в третьей стороне — гипотенузе — та же величина должна содержаться ровно 5 раз.
Рис. 72. Маршрут шмеля.
Например, если катеты треугольника равны 3 и 4 м, то гипотенуза равна 5 м; если катеты равны 9 и 12 км, то третья сторона равна 15 км и т. п. В нашем случае один катет равен 3x15 мин пути, другой — 4 х 15 мин пути; значит, гипотенуза АС равна 5x15 мин пути. Итак, мы узнали, что из сада к гнезду шмель летел 75 мин, то есть 11/4 часа. Теперь легко уже подсчитать, сколько времени шмель отсутствовал. На перелеты он потратил:
На остановки у него ушло времени:
Итого: 3 часа + 2 часа = 5 часов.
64. Поверхность крышки равна произведению длины ящика и его ширины; поверхность боковой стенки равна высоте х ширину; поверхность передней стенки — высоте х длину. Таким образом,
длина x ширина = 120;
высота x ширина = 80;
высота x длина = 96.
Перемножим первые два равенства. Получим:
длина x высота x ширина x ширина = 120 x 80.