ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– ... определяем по теореме Пифагора, - подхватил Илюша.

– Любого вектора?

– Любого.

– Напишите!
– сказал Мнимий.

Илюша написал:

r = √(a² + b²).

Что это за линии OB и BA?

Кто скажет?

– Отменно!
– произнес Мним.
– Далее, если вектор наклонен по отношению к положительному направлению

вещественной оси под углом φ, то как бы вы определили проекции вектора на оси, исходя из длины его и данного угла?

– По-моему, надо вот как написать:

а = r cos φ;

b = r sin φ.

– Справедливо! А что если нам теперь взять наш вектор в обычной форме:

a + bi

и подставить в его выражение новые значения для а и b?

а + bi = r cos φ + (r sin φ) i = r (cos φ + i sin φ).

– Теперь, - заявил Мнимий, - получилась так называемая тригонометрическая форма комплексного числа.

Ясно, что множитель перед скобкой есть длина вектора, или его модуль. А что же стоит в скобках?

– 400 -

Угол с положительным направлением вещественной оси определяет направление вектора.

– Мне кажется, что это тоже вектор.

– Справедливо. А длина его?

– Равна единице.

– Точно. Потому он и называется единичным вектором.

А величина, определяющая направление вектора, именуется его аргументом. Очевидно, О любой вектор можно изобразить, выбрав соответствующий аргумент и приличный случаю модуль.

– Ясно, - отвечал Илюша.
– Умножил на сколько надо и получил из единичного вектора такой, какой требуется.

– Точно, правильно, прекрасно!
– произнес Радикс.

– В таком случае давайте рассмотрим, что будет с единичным вектором, если его умножить на самого себя:

(cosφ + i sin φ) (cosφ + i sinφ) = (cos²φ-sin²φ)+2i sinφ•cos φ.

– Ну, Илюша, - сказал Радикс, - глянь-ка повнимательней: тебе эта формула ничего не говорит?

Илюша пожал плечами.

– Тогда вот что, - сказал Мнимий Радиксович.
– Может быть, в дальнейшем вы заглянете в учебник тригонометрии и узнаете, что разность квадратов косинуса и синуса есть косинус двойного угла φ, то есть угла, равного двум φ. А удвоенное произведение косинуса φ на синус φ есть аналогично синус угла двух φ. Если записать, то выйдет:

Минуя некоторые длинные выкладки, сделаем такое общее заключение: возвести единичный вектор в степень n значит увеличить его угол в n раз. Вот что означает геометрически возведение единичного вектора в степень.

– Как будто, - сказал очень нерешительно Илюша, - я это где-то даже видел.

– 401 -

– Весьма вероятно!
– подхватил Мнимий.
– И увидите, наверно, еще не раз. Это ведь не так трудно проверить. Допустим, что наш единичный вектор наклонен к положительному направлению действительной оси под углом в сорок пять градусов. Тогда его косинус, то есть его проекция на действительную ось, равен...

– ... половине корня из двух. Такой же и синус будет.

– Давайте умножим такой вектор на самого себя.

Илюша взял мел и перемножил

OA = 1; AB = sinα; OB = cosα

–

Получилось одно i, - сказал Илюша в некотором недоумении.
– Что это за вектор, у которого только одно i осталось?

Затем Илюша внимательно посмотрел на чертеж.

– А-а!
– сказал он.
– Понял! Это единичный вектор, направленный прямо по мнимой оси. Единичный он потому, что около i стоит множителем единица. А так как мнимая ось перпендикулярна к действительной, то, значит, этот вектор образует с ней угол в девяносто градусов. И выходит, что действительно угол удвоился.

– А вектор?

– А вектор повернулся против часовой стрелки на сорок пять градусов. А если еще раз умножить? Можно, я попробую?

– Сделайте ваше одолжение!
– отвечал Мнимий.

Илюша умножил еще раз. Вышло:

– Что-то я не пойму, - сказал Илюша.

Но на чертеже он увидел, что вектор повернулся теперь на 135° по отношению к положительному направлению действительной оси, н, следовательно, к 90° прибавилось еще 45°.

– А ведь верно!
– сказал Илюша.

– 402 -

– Ну вот. Половина дела сделана, - сказал, улыбаясь, Мнимий.
– Теперь вы поняли, почему мы можем так поворачиваться вокруг начала координат. А теперь решим обратную задачу. Что значит извлечь корень из комплексного числа? Поскольку возведение в степень и извлечение корня суть обратные действия, мы можем считать, что и в области комплексных чисел остается в силе определение корня как обратного действия. А если это так, то как теперь извлечь корень из единичного комплексного вектора?

– Мне кажется, что раз при возведении в степень углы умножаются, то, - продолжал Илюша, - это похоже на действия со степенями. А значит, при извлечении корня углы векторов делятся. Так?

– Молодчина!
– отвечал Мнимий.

– Но только как же тогда я, извлекая из одного единственного i корень, получу такое выражение:

хотя как раз так и должно быть, потому что, когда я возводил это выражение в квадрат, то получил i?

– Очень просто, - сказал Мнимий, - стоит только эго "одно-единственное i" написать в виде комплексного числа:

0 + i•1.

А это можно изобразить и так:

cos φ + i sin φ,

то ясно, что φ равен девяноста градусам. Поделите φ пополам, и все будет в порядке. Заметьте кстати, дружок, что если вы еще раз возведете в квадрат, то как раз и получите:

i² = cos180° + i•sin180°.

Наше чудесное равенство i² = -1, таким образом, означает, что, повернув вектор дважды на прямой угол, вы повернете его в итоге на сто восемьдесят градусов, то есть переведете его в вектор противоположного направления. Но тут есть еще одно весьма важное обстоятельство.