ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

x₁ = -p/2 + z; x₂ = -p/2 -z, где z = 1/2(x₁– x₂).

– 306 -

Затем во второе уравнение x1 • x2 = q подставляем эти значения корней и приходим к известной формуле квадратного уравнения, что нетрудно проверить.

AB = a; BD = 2a; CB = a√2

Илюша немного повозился с расчетами, выяснил, что получается, а затем сказал:

– Но ведь ученый халдеи не знал формул Виета?

– Формул, конечно, он не знал, но самый факт определенных

взаимоотношений между исходными данными такой задачи и ее решением не мог быть для него тайной, потому что тогда он не сумел бы так решить задачу. Формулировать это еще не умели и не понимали, может быть, сколь это полезно, но факт был известен. Догадываешься, в чем тут разница?

– Как будто... то есть, как вы говорите, не знали, почему?

– Вот именно, - подтвердил Радикс.
– Удвоить квадрат оказалось довольно просто, а основное правило решения выясняется при помощи теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна а, то мы узнаем х из пропорции:

Ты, наверно, помнишь, как геометрически производится построение средней пропорциональной?

– Конечно!
– отвечал мальчик.
– Это мы по геометрии проходили. Откладываешь на прямой отрезки, равные а и 2а, и на их сумме, то есть на 3а, строишь полуокружность, радиус которой равен 1,5а. А теперь, если АВ будет отрезок а и 2а отрезок BD, то из точки В ты восстанавливаешь перпендикуляр до пересечения с окружностью - это и будет искомая средняя пропорциональная. Доказать, что это так, нетрудно. Теорема Пифагора все тут объясняет.

– Хорошо. Таким образом, тебе, следовательно, ясно, что, применяя это несложное построение, для которого ты пользуешься двумя известными тебе по своим свойствам геометрическими местами, то есть прямой и окружностью - иначе сказать, линейкой и циркулем, - ты получишь совершенно точно искомую величину. Но затем стал вопрос об удвоении объема.

– 307 -

Тут нужен не квадратный, а кубический корень из двух. Конечно, и для него не так уж трудно найти грубое приближение, вроде дроби 29/23, потому что, если эту дробь возвести в куб, получится 24389/12167 что Равно 2,0045, то есть двойка с ошибкой меньше пяти тысячных. Опять для целей строительства - прекрасное приближение! Но и в этом вопросе, который оброс в Древней Греции разными легендами и широко обсуждался, древнегреческий ученый действует по-особому. И для куба Гиппократ Хиосский вводит в пропорцию еще одну величину, у, причем он допускает, что между х и у соблюдается то же соотношение, что и между а и х. Строится пропорция

а : х = х : у = у : b,

откуда

x² = ay; y² = xb; x⁴ = a²y² = a²xb;

Положив теперь b = 2а, мы и получаем искомое решение:

х³ = 2а³

– А тут я чего-то, наверно, не понимаю, - признался Илья.
– Зачем же Гиппократу понадобились все эти сложности [24] с его пропорцией? Ведь то, что ты называешь решением, то есть равенство х³ = 2а³, можно прямо написать из условий задачи. Для чего здесь нужна была эта длинная пропорция?

24

1 См. Схолию Девятнадцатую.

– Видишь ли, чтобы сообразить, зачем Гиппократу понадобилась эта сложная пропорция, надо вспомнить, что греки не располагали современной символикой. Это ты теперь можешь написать сразу:

а у греков пропорция была единственным способом для построения кратных соотношений между величинами. Следы этого громоздкого пропорционального подхода к подобным вопросам можно заметить вплоть до семнадцатого века вашей эры. Гиппократ придумал нужную пропорцию, и заслуга его в том, что он формулировал решение задачи, то есть он "составил уравнение", которое должен был далее решить геометрически, построением. Но Гиппократу это все-таки не удалось.

– 308 -

Он только указал общий принцип решения. Решили эту задачу другие греческие математики, в том числе Менехм, ученый, который много занимался коническими сечениями (так что три эти сечения даже назывались в его честь "триадой Менехма"). Это решение представляет собой нечто более сложное, нежели известное тебе построение средней пропорциональной. Искомый отрезок х строится при помощи двух пересекающихся парабол, поскольку парабола имеет близкое отношение к средним пропорциональным.

Построение Менехма.

Параболы: х² = аy; y² = аx;

Ищется средняя пропорциональная между a и 2a.

Впрочем, другие математики древности дали иные решения, не менее остроумные, и подошли впервые к решению кубического уравнения. Рассказ об этой задаче очень популярен среди ученых Возрождения, и для нас интереснее всего то, что принцип Гиппократа и всех, кто шел по его пути, представляет собой не только решение одной-единственной задачи, а является решением определенного типа задач на две средние пропорциональные. Этот вывод уже греческий.

– Это справедливо, - заметил Асимптотос, - но вот что еще можно отметить. Греческая разработка древневосточной науки привела постепенно греков к убеждению, что геометрия покоится на некоторых общих положениях, из которых путем ясного, простого и последовательного рассуждения можно вывести все важнейшие теоремы. Самые размышления стали глубже и проще: вместо того, чтобы покоряться неведомым силам природы, человек стал доискиваться их причин и мало-помалу пришел к заключению, что мировой порядок может быть изложен при помощи вычислений, то есть математически.

Разумеется, успехи вавилонских вычислителей-астрономов очень помогли этому. В Греции возникла пифагорейская школа мыслителей, которая учила, что все на свете определяется числом, причем целым. Значение этой школы в том, что она утверждала; мировой порядок есть нечто от человека не зависящее, что законы природы представляют собой не просто что-то таинственное, но нечто сложное, однако постижимое для человека. И вот при разработке этого учения древние мыслители столкнулись с явлением, которого не знал Древний Восток, - с иррациональностью, которая никакими числами точно выражена быть не может. Это открытие разрушило веру в целое число, а с другой стороны, показало, что геометрия в некотором смысле сильнее арифметики, ибо построить корень из двух нетрудно, а вычислить невозможно.

– 309 -

– Значит, - решил Илья, - это и было одним из завоеваний новой науки?

– Конечно!
– ответил Радикс.
– Иногда оно выражалось очень странно. Например, утверждали, что геометрия великая наука, а простой счет, которым люди пользуются на базаре, - нечто жалкое и убогое...

– Теперь понять это нетрудно, а тогда...
– продолжал Коникос.
– Греки постепенно создали такую геометрическую алгебру, где при помощи построений решались довольно сложные задачи. Причем весь ход решения, все рассуждения от начала до конца можно было проследить, обдумать и провести с точки зрения логики точно и ясно. Ясное размышление и точное доказательство - вот драгоценный вклад Древней Греции в математику.