Вселенная работает как часы. Лаплас. Небесная механика.
Шрифт:
Чтобы иметь возможность баллотироваться для вступления в Академию, Лаплас должен был как можно скорее приступить к работе. Под контролем д’Аламбера он проводил часы в чтении и изучении таких трудов Леонарда Эйлера, как «Введение в анализ бесконечно малых» (1748), «Наставление по дифференциальному исчислению» (1755) и «Интегральное исчисление» (1768), а также последних работ Жозефа Луи Лагранжа. Лаплас стремился открыть для себя новые достижения математиков в развитии анализа и его техник. Но что такое анализ? Почему он так важен для адъюнкта натурфилософии Лапласа?
В течение двух тысячелетий,
Как и другие ученые, Исаак Ньютон искал возможность описать как можно больше природных феноменов ограниченным количеством математических законов. Он предложил математическую модель для описания траектории планет, наблюдаемых Коперником (1473-1543), Тихо Браге (1546-1601) и Кеплером (1571-1630), а также для перемещения небесных тел («тяжелые тела»), изученных Галилеем (1564-1642). Ньютон описал законы движения в виде математической формулы, устанавливающей связь между физическими величинами и скоростью их изменения, — он говорил о расстоянии, пройденном подвижным объектом, с учетом его скорости и его скорости с учетом ускорения. Законы физики нашли выражение в виде дифференциальных уравнений, которые, в своих производных, использовались для измерения изменений.
«Читайте, читайте Эйлера, он — наш общий учитель». Эти слова Лапласа воздают должное Леонарду Эйлеру (1707- 1783). Сын пастора-кальвиниста, этот швейцарский математик, без сомнения, был самым продуктивным среди своих современников. Его работы лежат в основе сотен математических трудов и многочисленных учебников по исчислению, в которых и сегодня мы увидим введенное Эйлером определение функций с помощью f(x). Часто говорят, и не без оснований, что все учебники по математике являются копиями Эйлера или копиями копий Эйлера.
Ученый легко совершал довольно сложные математические расчеты. Несмотря на полную слепоту, которой он страдал в течение последних 17 лет жизни, Эйлер продолжил плодотворно работать в прежнем ритме благодаря своей исключительной памяти (например, он знал наизусть «Энеиду»).
Зато талант Эйлера в философии был скорее посредственным. Вольтер высмеял его «Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях» перед Фридрихом II Великим, хотя этот сборник представлял собой своеобразную научно-популярную энциклопедию. Однако насмешки Вольтера не уменьшили страсть Эйлера к философским дискуссиям. Однажды он в присутствии Екатерины II оскорбил Дени Дидро, обратившись к нему следующим образом: «Месье,
(а + bn)/n = x,
следовательно, Бог существует. Возразите!» Если верить этому сомнительному анекдоту, Дидро не стал вступать в спор и покинул зал. Эйлер работал в Берлинской академии и Академии
В дифференциальном уравнении главной неизвестной является скорость изменения величины, то есть его дифференциал, или производная. Дифференциалы как производные одной величины представляют изменение значения функции — увеличение, уменьшение, постоянство. Например, ускорение описывает изменение скорости движения, так как это частное дифференциалов скорости и времени. Иными словами, ускорение является производной скорости по отношению ко времени, и исходя из этого оно представляет собой изменение скорости по отношению ко времени.
Ньютон — одновременно с Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) — придумал дифференциальное исчисление (или теорию флюксий, как он его называл) и применил его к своим исчислениям. Итак, чтобы представить законы астрономии и механики в знаменитой работе Philosophiae naturalis principia mathematica {«Математические начала натуральной философии», 1687 год), Ньютон сохранил терминологию, унаследованную от Евклида и греков. Для расчета производной он определил касательные к кривой и вычислил интеграл (операция, обратная дифференцированию), чтобы определить площадь поверхности под кривой. Таким образом, если вы откроете «Начала» Ньютона, то, вероятно, будете разочарованы: это произведение, считающееся символическим по отношению к научной революции, практически не поддается расшифровке. В действительности именно Лейбницу мы обязаны символами, обозначающими слова «дифференцировать» и «интегрировать» , а также правилами, регулирующими эту нотацию, хорошо известными каждому студенту математического факультета.
Описание подробностей распространения «Начал» потребовало бы много места. Отметим лишь, что идеи Ньютона привлекали все больше и больше последователей благодаря труду таких авторов, как Пьер Вариньон (1654-1722), который был другом Лейбница и преподавателем в Париже. Ученые стремились сформулировать в виде уравнений механические концепции и геометрические построения Ньютона, используя для этого такой инструмент, как дифференциальное исчисление в версии Лейбница, то есть исчисление бесконечно малых. Эти авторы оказали Ньютону огромную услугу, предложив для его теории математически вразумительную форму. Одновременно такие философы, как Вольтер и его подруга маркиза Эмили дю Шатле (1706-1749), успешно содействовали тому, чтобы донести труды Ньютона до широкой европейской публики, далекой от науки.
Законы Ньютона в конце концов нашли свое выражение с помощью аналитического языка дифференциальных уравнений. Уравнения пришли на смену графикам. Любопытно, что заботу переводить натуральную философию Ньютона с геометрического языка, используемого в это время, на новый аналитический язык (в известном нам виде) взяли на себя не британские математики. У истоков этого начинания стояли ученые с континента, в частности из Парижа, Берлина и Санкт-Петербурга. Соперничество Ньютона и Лейбница относительно авторства метода исчисления переросло в антипатию и открытую вражду между их сторонниками и проложило пропасть между островными и континентальными математиками. Первые последователи Ньютона упорно добивались использования исключительно геометрических методов, что впоследствии вызвало некоторое замедление развития британской науки.