Введение в логику и научный метод
Шрифт:
[( a < b ) . ( b < c )] ( a < c ).
Если а включен в Ь и Ь включен в с, то а включен в с. Отношение «включен в» тем самым задается как транзитивное.
Выражение традиционных категорических суждений
Теперь выразим символически каждый из четырех видов категорических суждений.
Суждение «все а суть b» может быть выражено как «(а < b)». Более того, можно показать, что эта запись эквивалентна записи «(аb = 0)». Поэтому мы получаем: «(а <
) (
= 0)».
Суждение
)». Однако данное выражение эквивалентно выражению «(ab = 0)», так что можно получить и следующую запись: «(a <
) (ab = 0)».
Частные суждения противоречат общим, и поэтому в них отрицается то, что утверждается в общих. Поэтому в суждении «некоторые а суть Ь» отрицается то, что ни один а не есть Ь (символически: a <
). Это обстоятельство может быть выражено как «(a <
)'» или как «(ab /= 0).
Суждение «некоторые а не суть b» должно противоречить суждению (а < b). Следовательно, его можно выразить как «(a < b)'» или как «(
/= 0)».
Каждая из этих четырех символических форм должна быть знакома читателю по проведенному ранее анализу категорических суждений.
Доказательство теоремы де Моргана В рамках данной книги мы не можем развить исчисление классов, с тем чтобы показать его огромные возможности. Однако мы хотели бы проиллюстрировать природу доказательства в этом исчислении, предложив демонстрацию теоремы де Моргана применительно к классам.
Нам нужно найти дополнение к классу (a + Ь).
В силу принципа исключенного третьего a +
= 1 и Ь +
= 1. Также, согласно принципу упрощения, 1x1 = 1 и (а +
) (Ь +
) = 1. Используя принципы дистрибуции и ассоциации, вышесказанное можно записать так: (ab +
+
) + (
) = 1.
Теперь рассмотрим классы (ab +
+
) и (
). Они исчерпывают универсум, поскольку их сумма равняется 1; они также являются взаимоисключающими, поскольку их произведение равняется 0. Поэтому любой из них является дополнением другого.
Однако, согласно принципу тавтологии, ab +
+
= ab +
+
+ ab.
) + Ь (а +
) = а + Ь. Следовательно, поскольку (
) является дополнением к (ab +
+
), который, в свою очередь, равен (а + Ь), то, значит, (
) также равен и (а + Ь).
Следовательно, мы получаем (
) = (
), что является одной из форм теоремы де Моргана.
Теперь попробуем получить дополнение к ab.
Используя аргумент, тождественный только что приведенному, (ab) и (
+
+
) являются дополнениями друг к другу. Также мы имеем:
Следовательно, (
+
. Это вторая форма теоремы де Моргана. Эти результаты могут быть обобщены для любого конечного числа классов. Так:
и
§ 6. Исчисление суждений
Исчисление суждений изначально разрабатывалось как еще одна интерпретация символов, применяемых в теории классов. В определенной мере оба эти исчисления обладают тождественной формальной структурой, и каждое суждение в теории классов обладает соответствующим ему суждением в теории суждений, которое можно получить, используя подходящую интерпретацию. Приведенная ниже таблица может быть использована в качестве словаря для перевода теорем исчисления классов в теоремы исчисления суждений: