Юный техник, 2011 № 12

Журнал «Юный техник»

Для учащихся Украины работает УЗФТШ при ФТННЦ НАН Украины (обучение платное). Желающим поступить туда следует высылать работы по адресу: 03680, Украина, г. Киев, б-р Вернадского, д. 36, ГСП, УФЗФТШ. Тел: [phone]. Сайт УЗФТШ: mfti.in.ua, e-mail:[email protected].

Для учащихся из зарубежных стран возможно только платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях.

Внимание! Прислав нам решенное вступительное задание, вы даете согласие на обработку ваших персональных данных (в соответствии с Федеральным законом от 27.07.2006 г. № 152-ФЗ), которые будут использованы исключительно для отправки вам

материалов по почте и учета вашей успеваемости.

Номера задач, обязательных для выполнения (заочное и очно-заочное отделения), приводятся в таблице:

_{Номера классов указаны на текущий 2011–2012 учебный год.}

ВСТУПИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

МАТЕМАТИКА

1. Решите уравнение

(3х + 0,4)² + (4х + 2)² — (5х+7/3)² = 1 + 1/(4 — 31/64).

2. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 23.08 проехал в 1,35 раза больший путь, чем к 19.45 того же дня. Когда поезд выехал?

3. Заданы три точки: А(3;-4), В(-2;5), С(-12;3). Составьте уравнение прямой, проходящей через точку С и параллельной прямой АВ.

4. В треугольнике ABC биссектриса СЕ перпендикулярна медиане AM. Найдите АС, если ВС = 2012.

5. На первой остановке маршрута в пустой салон троллейбуса вошли пассажиры, и половина из них заняли места для сидения. Сколько человек вошло в троллейбус на первой остановке, если после второй остановки число пассажиров увеличилось на 8 % и известно, что троллейбус вмещает не более 70 человек?

6. В четырехугольнике PQSR противоположные стороны PQ и SR параллельны, а биссектрисы углов RPQ и SQP пересекаются в точке М, лежащей на отрезке RS. Найдите длину отрезка PR, если RS = 2012 км, QS = 458 км.

7. В треугольнике DEF проведена медиана DK. Найдите углы треугольника DEF, если известно, что угол KDE равен 70°, а угол DKF равен 140°.

8. Найдите количество трехзначных чисел, в каждом из которых сумма каких-либо двух цифр равна 3.

9. Угол BAD параллелограмма ABCD равен 60°; биссектрисы углов А и D этого параллелограмма пересекаются на прямой ВС. Найдите диагонали параллелограмма, если АВ = а.

10. При каких значениях параметра а уравнения

6х² — (7а + 1)х — За² = 4а + 1 и х² + х + а = а²

имеют общий корень?

11. Во время поездки по загородному шоссе автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 3 л бензина меньше, чем в городе. Водитель проехал 48

минут по городу и 2 часа по загородному шоссе и затратил 27,2 л бензина. Затем водитель проехал по загородному шоссе еще полтора часа, затратив 15,6 л бензина. Найдите среднюю скорость автомобиля за всю поездку, если по городу автомобиль едет на 30 км/ч медленнее, чем по загородному шоссе.

12. Найдите значение выражения (cos⁴a + sin⁴a — 1)/(cos⁶a + sin⁶a — 1).

13. Решите уравнение cos12х: = cos6х + sin6х.

14. Даны геометрическая прогрессия с общим членом Ь_n и арифметическая прогрессия с общим членом а_n, разность которой отлична от нуля. Известно, что Ь₁ = а₂, b₂ = а₁₄, Ь₃ = а₈. Определите, являются ли четвертый и пятый члены геометрической прогрессии Ь₄ и Ь₅ также членами данной арифметической прогрессии (если да, то определите их номера).

ФИЗИКА

1. Каждый участник команды (в состав команды входят два школьника) должен пробежать в эстафете один круг по стадиону (L = 400 м). Тренер находится у беговой дорожки на расстоянии l = 20 м по направлению движения от линии старта. Школьник, бежавший первый этап, пробежал мимо тренера через время t₁ = 4 с после старта. Второй участник команды преодолел свой (второй) этап эстафеты за время t₂ = 1 мин. 40 сек. Определите скорости школьников. Считать, что каждый из них бежит свой этап с постоянной скоростью. Определите среднюю скорость бега этой эстафетной команды.

2. Перед началом ледохода на реке взрывают лед. По воздуху звук от взрыва до правого берега дошел на Δt = 1с позже, чем до левого. На каком расстоянии l от левого берега был заложен заряд? Ширина реки в данном месте L = 1 км, скорость звука в воздухе Vзв = 320 м/с.

3. В цилиндрический сосуд с тонкими вертикальными стенками высотой Н = 7 см и некоторым объемом воды Vв опустили медный кубик массой m = 445 г. При этом кубик оказался целиком погруженным в воду, а вода не вылилась из сосуда и поднялась до его верхнего края.

Определите объем воды в сосуде. Площадь дна сосуда S = 50 см², плотность меди ρ = 8,9 г/см³.

4. Между двумя покоящимися на горизонтальной поверхности небольшими тележками массами m₁ = 50 г и m₂ = 75 г вплотную к ним помещена сжатая с помощью нити легкая пружина. После пережигания нити и полного распрямления пружины тележки пришли в движение с некоторыми постоянными скоростями. Через время t = 3 с расстояние между тележками составило L = 150 см. Определите скорости тележек. Размерами пружины пренебречь.