Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:
Какой день недели?
Умение быстро определять день недели, на какой приходится та или иная дата (например, 17 января 1893 г., 4 сентября 1943 г. и т. п.) основано на поучительном разборе особенностей нашего календаря, который мы сейчас и проделаем.
Первое января 1-го года нашей эры приходилось (как установлено расчетом) на субботу. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год должен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начинается одним днем недели позже, чем предыдущий. Если 1 января 1-го года была суббота, то 1 января 2-го года было днем позже, т. е. воскресенье, 3-го года – на 2 дня позже; а 1 января, например, 1923 года было бы на 1922 дня (1923 – 1) после субботы, – если бы не было ни одного високосного года. Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля, надо исключить календарную разницу в 13 дней: 480 – 13 = 467. К полученному числу надо прибавить
Такова общая схема вычислений недельного дня любой даты. На практике дело значительно упрощается. Прежде всего заметим, что в течение каждого 28-летнего периода бывает, вообще говоря, 7 високосных лет (неделя), – так что каждые 28 лет день недели любой даты должен повторяться. Кроме того, вспомним, что мы в предыдущем примере вычли из 1923 сначала 1, а затем календарную разницу обоих стилей, т. е. 13, всего 1 + 13 = 14 дней, или две полных недели. Но полное число недель, понятно, не влияет на результат. Поэтому для дат XX века надо принимать во внимание только: 1) число дней, протекших с 1 января данного года – в нашем примере 347; затем 2) прибавить число дней, соответствующее остатку лет от деления 1923 на 28, и наконец, 3) число високосных лет в этом остатке, т. е. 4. Сумма этих трех чисел (347 + 19 + 4), т. е. 370, дает при делении на 7 тот же остаток 6 (пятница), который был получен нами раньше.
Таким же образом мы найдем, что 15 января 1923 г. приходится на понедельник (14+19 + 4 = 37;37:7 – в остатке 2). Для 9 февраля нового стиля 1917 г. мы нашли бы 39 + 13 + 3 = 55; при делении 55 на 7 получаем в остатке 6 – пятница. Для 29 февраля нового стиля 1904 г.: 59 + 0–1 [33] = 58; остаток от деления на 7 здесь 2 – понедельник.
Дальнейшее упрощение состоит в том, что вместо полного числа дней месяца (при исчислении числа дней, протекших после 1 января заданного года), принимают в расчет только его остаток от деления на 7. Далее, разделив 1900 на 28, получаем в остатке 24 года, в которых содержится 5 високосных лет; прибавив их к 24 и найдя, что сумма 24 + 5, т. е. 29, дает при делении на 7 остаток 1, определяем, что 1 января 1900 года было в 1-й день недели. Отсюда для первых чисел каждого месяца получаем следующие числа, определяющие соответствующие им дни недели (мы будем их называть «остаточными числами»).
Остаточные числа для:
Запомнить эти числа нетрудно; кроме того, их можно нанести на циферблат карманных часов, поставив возле каждой цифры циферблата соответствующее числи точек [34] .
Сделаем теперь расчет дня недели, например, для 31 марта 1923 г.
Найти день недели 16 апреля 1948 г.
Остаток от деления на 7. . 6 – пятница.
Найти день недели 29 февраля 1912
Остаток от деления на 7. . 5 – четверг.
Для дат предшествующих столетий (XIX, XVIII и т. д.) можно пользоваться теми же числами; но надо помнить, что в XIX веке разница между новым и старым стилем была не 13, а 12 дней; кроме того, при делении 1800: 28 получается в остатке 8, что вместе с 2 високосными годами в этом остатке составляет 10 (или 10 – 7 = 3), т. е. соответствующее характерное число для дат XIX века должно быть увеличено на 3–1 = 2. Так что, например, день недели 31 декабря 1864 г. нового стиля мы определим сначала по предыдущему, а затем внесем соответствующую поправку – прибавим 2 дня:
Остаток от деления на 7. . 0 – суббота.
Найти день недели 25 апреля нового стиля 1886 г.
После недолгого упражнения можно и еще более упростить вычисления, а именно – писать, вместо приведенных здесь чисел, прямо их остатки от деления
Искомый день – суббота.
Подобного рода упрощенными приемами [35] пользуются обычно те мнимые «гениальные математики», которые показывают публике свое искусство быстрого счета. Как видите, все это очень просто и без труда может быть выполнено каждым после непродолжительного упражнения.Календарь на часах
Знание этих маленьких секретов может не только пригодиться нам для выполнения фокусов, но и сослужить службу в повседневной жизни. Мы легко можем превратить свои карманные часы в «вечный календарь», с помощью которого сможем определить дни недели любых дат какого угодно года. Для этого понадобится только, осторожно сняв стеклышко с часов, нанести на циферблате тушью [36] точки возле цифр, в числе, соответствующем таблице, стр. 136. Как пользоваться этими точками, мы уже знаем.
Календарь на часах
Особенно просто это для дат XX столетия: к числу точек прибавляют число месяца, последние две цифры года и частное от деления их на 4, а еще лучше – остатки от деления этих чисел на 7. Остаток от деления суммы этих 4 слагаемых на 7 показывает день недели, а именно:
0 – суббота,
1 – воскресенье,
2 – понедельник,
3 – вторник и т. д.Еще проще пользование часами-календарем для дат текущего года. Для каждого года нужно лишь держать в памяти остаток от деления на 7 суммы числа прошедших от начала века лет и четверти этого числа, этот остаток постоянно должен прибавляться к числу месяца определяемой даты вместе с числом точек возле соответствующей цифры. В частности, для 1923 года остаток этот равен нулю, потому что
Само собою разумеется, что «вечный календарь» указанного типа возможно устроить не только на карманных часах. Вы можете просто приклеить к карандашу, линейке, к краю записной книжки, вообще к любому предмету, часто бывающему у вас под руками, узенькую полоску бумаги с соответствующей табличкой характерных для каждого месяца чисел, как указано здесь, – и маленький вездесущий вечный календарь готов.
1-1
II-4
III-4
IV-0
V– 2
VI -5
VII-0
VIII-3
IX-6
X– 1
XI-4
XII-6Глава IX Числовые исполины
Как велик миллион?
Величественная внушительность числовых великанов – миллиона, миллиарда, даже триллиона – заметно померкла в наших глазах за последнее время, с тех пор, как числа эти вместе с потоком бумажных денег проникли в нашу повседневную жизнь. Если месячные расходы в хозяйстве небольшой семьи достигают миллиардов, а бюджет второстепенного учреждения выражается триллионами, то мы естественно начинаем думать, что эти некогда недоступные воображению числа вовсе не так уж огромны, как нам твердили до сих пор. Трудно поражаться громадности семизначного числа рублей, за которое не дадут и полной крынки молока. Не подавляет нашего ума миллиард, на который не купишь костюма.
Но было бы большим заблуждением думать, что благодаря проникновению числовых великанов из своих недоступных высот в прозу житейского обихода мы сейчас знакомы с ними лучше, чем раньше. Миллион по-прежнему остается для большинства людей тем, чем и был – знакомым незнакомцем. Скорее даже наоборот: ходячее представление о миллионе сделалось еще превратнее. Мы и раньше склонны были преуменьшать величину этого числа, превышающего силу нашего воображения; когда же миллионными числами стали выражаться весьма скромные, в сущности, ценности, миллион сжался в нашем воображении до размера самого обыкновенного, легко доступного числа. Мы впадаем при этом в курьезную психологическую ошибку: то, что миллион рублей сделался сравнительно небольшой суммой, мы относим не за счет уменьшения денежной единицы, а за счет уменьшения миллиона. Благодаря привычке и постоянству рубля и смутности нашего представления о миллионе, мы безотчетно продолжаем считать величину рубля как бы неизменной и воображаем, что нам довелось наконец постичь величину миллиона, который оказался вовсе не так огромен, как трубит его будто бы незаслуженная слава. Я слышал, как человек, узнав впервые, что от Земли до Солнца 150 миллионов километров, простодушно воскликнул: