Жизнь науки
Шрифт:
Быть может, еще большее значение, чем собственные перворазрядные творческие достижения Гильберта, имело влияние стиля его мышления, те требования ясности и определенности результатов, которые он ставил, то сочетание простоты и строгости, которых он добивался от своих учеников.
Гильберт возглавил обширную школу, оказавшую сильное влияние на всю мате* матику и физику начала XX века. После прихода к власти Гитлера «чистка» германских университетов больше всего коснулась учеников Гильберта. Вейль и Курант покинули родину, другие потеряли свое место, некоторые погибли в концлагерях. Последние годы жизни для Гильберта были трагическими годами одиночества; на его глазах разрушалась германская культура, блестящим представителем которой он был. Гильберт умер в Геттингене на 81-м году жизни; на его могиле
Wir miissen wissen
Wir werden wissen
(мы должны знать — мы будем знать).
приводим вступительную часть речи Гильберта на II Международном съезде математиков в Париже в 1900 г. В этой знаменитой речи Гильберт сформулировал 23 проблемы. Последующее развитие математики показало всю глубину его интуицпп и понимания путей развития математики. Мы приводим также предисловие к «Основаниям геометрии» (1930), первоначально вышедшим в 1899 г.
Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особые цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли?
История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или .решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным. Ведь большие даты не только заставляют нас оглянуться на прошедшее, но и направляют нашу мысль в неизвестное будущее.
Невозможно отрицать глубокое значение, какое имеют определенные проблемы для продвижения математической науки вообще, и важную роль, которую они играют в работе отдельного исследователя. Всякая научная область жизнеспособна, пока в ней избыток новых проблем. Недостаток новых проблем означает отмирание или прекращение самостоятельного развития. Как вообще каждое человеческое начинание связано с той или иной целью, так и математическое творчество связано с постановкой проблемы. Сила исследователя познается в решении проблем: он находит новые методы, новые точки зрения, он открывает более широкие и свободные горизонты.
Трудно, а часто и невозможно заранее правильно оценить значение отдельной задачи; ведь в конечном счете ее ценность определится пользой, которую она принесет науке. Отсюда возникает вопрос: существуют ли общие признаки, которые характеризуют хорошую матемдтическую проблему? ^
Один старый французский математик сказал: «Математическую теорию можно считать совершенной только тогда, когда ты сделал ее настолько ясной, что берешься изложить ее содержание первому встречному». Это требование ясности и легкой доступности, которое здесь так резко ставится в отношении математической теории, я бы поставил еще резче в отношении математической проблемы, если она претендует на. совершенство; ведь ясность и легкая доступность нас привлекают, а усложненность и запутанность отпугивают.
Математическая проблема, далее, должна быть настолько трудно#,* чтобы нас привлекать, и в то же время не совсем недоступной, чтобы не делать безнадежными наши усилия; она должна быть путеводным знаком на запутанных тропах, ведущих к сокрытым истинам; и она' затем должна награждать нас радостью найденного решения.
Математики прошлого столетия со страстным рвением отдавались решению отдельных трудных задач; они знали цену трудной задаче. Я напомню только поставленную Иоганном Бернулли задачу о линии быстрейшего падения. «Как показывает опыт,— говорит Бернулли, оповещая о своей задаче,— ничто с такой силой не
Известно утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение
хп + уп = zn
неразрешимо в целых числах х, у, z, если не считать известных очевидных исключений. Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.
Напомню еще об одной интересной проблеме — задаче трех тел. То обстоятельство, что Пуанкаре предпринял новое рассмотрение и значительно продвинул эту трудную задачу, привело к плодотворным методам и далеко идущим принципам, введенным этим ученым в небесную механику, методам и принципам, которые сейчас признаются и применяются также и в практической астрономии.
Обе упомянутые проблемы — проблема Ферма и проблема трех тел — являются в нашем запасе проблем как бы противоположными полюсами: первая представляет свободное движение чистого разума, принадлежащее области абстрактной теории чпсел, вторая выдвинута астрономией и необходима для познания простейших основных явлений природы.
Однако часто случается, что одна и та же специальная проблема появляется в весьма различных областях математики. Так, проблема о кратчайшей линии играет важную историческую и принципиальную роль одновременно в основаниях геометрии, теории кривых и поверхностей, механике и вариационном исчислении. А как убедительно демонстрирует Ф. Клейн в свсхей книге об икосаэдре, проблема о правильных многогранниках имеет важное значение одновременно для элементарной геометрии, теории групп, теории алгебраических и теории линейных дифференциальных уравнений!
Чтобы осветить важность отдельных проблем, я позволю себе еще сослаться на Вейерштрасса, считавшего большой удачей для себя то стечение обстоятельств, которое позволило ему в начале своей научной деятельности заняться такой значительной проблемой, как проблема Якоби об обращении эллиптического интеграла.
После того как мы рассмотрели общее значение проблемы в математике, обратимся к вопросу о том, из какого источника математика черпает свои проблемы. Несомненно, что первые и самые старые проблемы каждой математической области знания возникли из опыта и поставлены над миром внешних явлении. Даже иршикп счета с целыми числами были открыты на этом пути еще на ранней ступени культурного развития человечества так же, как и теперь ребенок познает применение этих правил эмпирическим методом. То же относится к первым проблемам геометрии — пришедшим к нам из древности задачам удвоения куба, квадратуры круга, а также к старейшим проблемам теории численных уравнений, теории кривых, дифференциального и интегрального исчислений, вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, но говоря уже о всем богатстве проблем собственно механики, астрономии и физики.