Журнал «Компьютерра» №47-48 от 20 декабря 2005 года
Шрифт:
Итак, в чем же суть проблемы, о которой мы сегодня рассказываем? Рассмотрим кривую, заданную полиномиальным уравнением с двумя переменными. Одна из важнейших характеристик такой кривой – ее род (genus). Дать здесь классическое определение рода кривой будет трудно, но мы приблизимся к нему с другой стороны. Начнем с поверхностей. Наверное, каждый в детстве читал о топологах, которые не могут отличить кружку от бублика – ведь обе поверхности топологически эквивалентны тору. Так вот, у поверхностей тоже есть род; род бублика, например, равен единице. А вообще род поверхности (если быть точным, род «ориентируемой поверхности») – это количество замкнутых кривых, по которым ее можно разрезать так, чтобы она не распалась
Теперь представьте, что уравнение, которое нас интересует, нужно решать в комплексных числах. Тогда множество его решений – это двухмерная поверхность. Ее род в данном случае и называется родом кривой.
Итак, род представляет собой целое неотрицательное число; кривые рода 1 – это и есть эллиптические кривые, которые сейчас находят применение в криптографии. О них и идет речь в гипотезе Берча-Свиннертон-Дайера. Кстати, если ограничиться вещественными числами, эллиптические кривые определяются совсем просто: это кривые, заданные одним из уравнений Вейерштрасса y
Как уже упоминалось, гипотеза касается множества рациональных решений данного уравнения. Берч и Свиннертон-Дайер рассматривали функцию L, вычисляемую через количество рациональных решений по модулю простого числа p (в вещественном случае – количество решений уравнения y2 ? x3 + ax +b по модулю p). Функция эта строится аналогично дзета-функции Римана, о которой мы уже рассказывали, и свойства имеет соответствующие: L, если рассмотреть ее как функцию комплексного переменного, сходится на полуплоскости, но при этом аналитически продолжается и на другую половину. Вычислить значения L и ее аналитического продолжения для каждой конкретной кривой не очень просто, но вполне возможно; в частности, это можно сделать автоматически, на компьютере.
Гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера утверждает, что количество и структура множества рациональных решений эллиптической кривой тесно связаны с поведением L-функции в единице[Если быть точным, то по этой гипотезе ранг группы рациональных решений есть степень первого ненулевого члена разложения L в ряд Тейлора в единице; иными словами, L(z) около единицы похожа на (z—1)r, где r – ранг.]. В частности, количество рациональных точек бесконечно тогда и только тогда, когда L(1)=0.
Благодаря работам отечественного математика Виктора Александровича Колывагина, а также доказательству теоремы Ферма Эндрю Уайлсом это утверждение уже доказано в одну сторону: если L(1) ? 0, то количество рациональных точек конечно. Доказательство в другую сторону – предмет долгих и безуспешных поисков. Кроме того, открыт путь для обобщений гипотезы – в частности, к изучению рациональных точек не только кривых, но и поверхностей более высокой размерности (то есть уравнений с бульшим количеством переменных). Например, Леонард Эйлер еще в 1769 году выдвинул гипотезу, что уравнение x4 + y4 + z4 = t4 не имеет ненулевых решений. Эту гипотезу, как и похожую на нее гипотезу Ферма, долгое время не могли доказать, но результат в данном случае оказался иным: в 1988 году обнаружился контрпример (точнее, бесконечно много контрпримеров). Вот минимальный из них (проверить легко – но представьте, как трудно было бы его найти без развитой теории): 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4
Алгебраическая геометрия – наука, приложения которой, как правило, отнюдь не очевидны. Математикам, чтобы годами биться над интересной задачей, приложения и вовсе не нужны: да, великая теорема Ферма имеет некоторый криптографический смысл, но попытки ее доказательства привели к созданию и развитию нескольких важных разделов современной математики задолго до того, как криптография оформилась как математическая дисциплина.
Вот и в случае гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера непосредственных приложений, о которых можно было бы здесь рассказать, сразу не видно. Разумеется, в своей области гипотеза занимает центральное место: мы пока не умеем искать рациональные точки алгебраических многообразий (заданных полиномиальными уравнениями
Однако история не раз подтверждала, что творения математика переживают столетия лишь тогда, когда он работает без практических применений, а для удовлетворения собственного любопытства. А ориентированные на практику исследования очень редко приносят глубокие, фундаментальные результаты. Кто знает, возможно, гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера станет основой теории, которая в очередной раз изменит мир.
ПИСЬМОНОСЕЦ: Happy New Year, бэби!
Доброе время суток, дорогие компьюпилы. Знаете, мне все больше и больше становится жалко Козловского. Мужику все труднее и труднее писать про какие-то новенькие фенечки, это чувствуется… Долго пытался понять почему, и до меня дошло. Когда вы в последний раз с восторгом отзывались о телевизоре? Да-да, о том самом ящике, который стоит в каждом доме. К чему это я? Да к тому, что в последнее время компьютер (проектор, монитор, модем и бла-бла-бла) стали такими же «телевизорами» – незаметными, но незаменимыми (для некоторых) предметами обихода. А писать про то, что есть почти у каждого, неинтересно; трудно привнести в эту среду что-либо новое, оригинальное. Поэтому, как бы мне ни хотелось обратного, но похоже, что года через два «Огород» умрет, зарастет травой. А жаль, будет нехватать…
А «Село» было, есть и будет! А вот что будет с Голубицким – загадка. Возможно, на ниве софта «Голубятня» также загнется, но вот повидло… Его будут «есть» всегда.
Спасибо за возвращенную в конец статей дискетку.
В отличие от своих первых писем, если дадите приз – не откажусь.
ОТ РЕДАКЦИИ: Козловский – это кибернетический организм, отправленный в прошлое, чтобы изменить будущее. Так что я бы на вашем месте был поосторожнее с прогнозами: огородник еще первый аккумулятор только наполовину израсходовал, а у него и второй имеется, с удвоенной емкостью. И не удивляйтесь, если под Новый год на пороге вашей квартиры появится некто с горящими глазами, бородой и пультом управления в ухе и с характерной интонацией поинтересуется: «Паша Кабаев?»
Я являлся читателем «Компьютерры» с 1997 по 2000 год, потом перестал читать, потому что стиль изменился настолько, что мне просто стало неприятно читать. Сначала журнал был замечательный, потом все хуже и хуже. Вот сейчас зашел на сайт, где-то полгода не был, это же ужас! Ребят, вы бы определились с языком, наконец, – если пишете кириллицей, то пишите по-русски, если пишете латинским алфавитом, то по-английски. Когда в одном предложении пять слов антитранслитом, пять – транслитом, пять – по-английски и пять – по-русски, – это просто нереально сложно прочитать, несмотря на то что я одинаково свободно владею русским и английским.
Петр Мордашев
ОТ РЕДАКЦИИ: Знаете, Петр, проблема чистоты русского языка занимала еще Екатерину Вторую, чистокровную немку, которая на закате карьеры потребовала заменить все «чужие» слова на родные, исконные. Власти у нее было с избытком, однако вы, уверен, до сих пор называете клизму «клизмой», а вовсе не «задослабом», как хотелось матушке-императрице. В компьютерной отрасли действительно немало терминов, заимствованных из других языков, но обвинять в этом «Компьютерру» равносильно предположению, что Кеннеди убили Козловский с Голубицким. А претензии ваши можно свести к фразе из интернет-фольклора: «Ниасилил. Очиньмногабуков»
Здравствуйте, друзья! Зацепила меня «13-я комната» в #615 про находящихся на грани разорения мобильных операторах. Идея о миграции в брезентовые палатки – это самое оно. Думаю, на полиграфические шедевры (бесплатные журналы, тарифные планы и пр.) и позолоту лепнины тратятся немалые деньги. Опять же скучающие менеджеры… Плюс к тому непонятное нежелание операторов париться просвещением абонентов, которые зачастую не умеют пользоваться большинством услуг (начиная от SMS и заканчивая GPRS, который используют, в общем-то, только продвинутые полуколхозные пацаны для «закачивания» картинок и мелодий). Несложная пропаганда мобильных e-mail, ICQ и прочего (вкупе с установкой/настройкой/техподдержкой), думаю, резко повысит объемы GPRS-трафика. Полагаю, и с прочими услугами нужно поступать аналогично. Возможно, что в Москве ситуация видится иначе, но у нас в провинциях по-прежнему бытует мнение, что «телефон – чтобы звонить», и ромашки аськи на экране древнего Siemens C60 вводят людей в полнейший ступор («А… Э… А что, можно?!??!»). Что ж, наверное, пришла пора снимать клубные пиджаки и, засучив рукава, пахать… Ну где-то на уровне между водоканалом и горавтотрансом.