А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Последовательность «настоящих» чисел Фибоначчи начинается с двух единиц, но последовательность «обобщенных» чисел Фибоначчи может начинаться с любых двух чисел. Вы можете рассмотреть варианты парадокса, основанные на обобщенных числах Фибоначчи. Например, последовательность 2, 4, 6, 10, 16, 26… порождает прямоугольники, площадь которых отличается то в одну, то в другую сторону от площади квадрата на 4. Последовательность 3, 4, 7, 11, 18… порождает прямоугольники, площадь которых отличается то в одну, то в другую сторону рт площади квадрата на 5.
Пусть a, b и с — любые три последовательных обобщенных числа Фибоначчи, а х — разность площадей прямоугольника
а + b = c
Ь2 = ас ± х.
Подставив вместо х любой избыток или недостаток площади, а вместо Ь — любую длину стороны квадрата и решив систему двух выписанных выше уравнений, мы найдем соответствующие значения а и с (хотя они не обязательно получатся рациональными).
А нельзя ли разрезать квадрат на четыре части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник, площадь которого была бы равна площади квадрата?
Чтобы ответить на этот вопрос, положим во втором из уравнений нашей системы х = 0 и выразим b через с. Единственное положительное решений (отрицательное мы отбрасываем, так как Ь — длина отрезка) имеет вид
Величина (1 + 5½)/2 — знаменитое золотое сечение, или φ. Это иррациональное число, равное 1,618033… Иначе говоря, числа φ
1, φ, φ2, φ3, φ4…
образуют единственную последовательность Фибоначчи, обладающую тем свойством, что квадрат любого ее члена (начиная со второго) равен произведению двух соседних членов.
После некоторых преобразований можно показать, что последовательность Фибоначчи эквивалентна последовательности
1, φ, φ + 1, 2φ+1, Зф + 2… (*)
и ее члены обладают отличительным признаком чисел Фибоначчи: каждый из них (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих.
Только разрезая квадрат на части, длины которых совпадают с четверками последовательных чисел Фибоначчи из (*), мы получим вариант парадокса с равновеликими прямоугольником и квадратом. Более подробно о золотом сечении и о его связи с парадоксом о разрезании квадрата и превращении его в прямоугольник см. в главе 23 («Число φ — золотое сечение») моей книги «Математические головоломки и развлечения». [9]
9
См. сноску на с. 44, с. 218–233.
Через несколько месяцев мистер Рэнди снова пришел к Омару. На этот раз он принес с собой ковер размером 12х12 дм2.
М-р Рэнди. Мой дорогой Омар!
Случилась беда: электрообогреватель опрокинулся на ковер и прожег в нем дырку. Разрезав ковер на части и сшив их по-другому, вы сможете легко скрыть этот изъян.
Оставив
Сшив части прежнего ковра, он получил ковер размером 12х12 дм2. Дыра бесследно исчезла!
Омар. Как вам удалось это сделать, мистер Рэнди? Откуда вы взяли недостававший квадратный дециметр, чтобы заделать дыру?
Могут ли два одинаковых квадрата иметь различную площадь? Во втором парадоксе с коврами мистера Рэнди недостающая площадь имеет правдоподобное объяснение: это дырка, прожженная в ковре.
В отличие от предыдущего парадокса все части примыкают без зазоров, и ни одна часть не перекрывает другую. Куда же исчезает недостающий квадрат со стороной 1?
Чтобы ответить на этот вопрос, приготовим два экземпляра квадрата без дыры. Чем больше получатся квадраты, тем лучше. Один квадрат аккуратно разрежем на части по выкройке, составим из них квадрат с дырой и наложим на него второй квадрат.
Если верхний край и боковые стороны обоих квадратов совпадают, то вы легко заметите, что второй «квадрат» — вовсе не квадрат, а прямоугольник, который выше квадрата на 1/12 дм. Площадь полоски 12х(1/12) дм2, выступающей за пределы квадрата, равна площади «бесследно» исчезнувшей дыры.
Итак, недостающий единичный квадрат найден!
Но отчего вытянулся в высоту «квадрат»? От того, что вершина, которая расположена на гипотенузе части, имеющей форму прямоугольника, не совпадает с узлом квадратной решетки, на которую разграфлена бумага. Зная это, вы сможете построить варианты этого парадокса, в которых избыток или недостаток площади больше 1.
Описанный парадокс известен под названием «квадрат Керри» (фокусника-любителя из Нью-Йорка, открывшего основной принцип подобных парадоксов) и существует во множестве вариантов, включающих не только квадраты, но и треугольники. Тем, кто захочет побольше узнать о квадратах и треугольниках, рекомендую обратиться к моим книгам «Математические чудеса и тайны» [10] и «Математические головоломки и развлечения». [11]
10
Гарднер М. Математические чудеса и тайны. — М.: Наука, 1964, с 84—102.
11
См. сноску на с 44, с. 125–132.
Самые забавные варианты этой разновидности парадоксов известны в виде картинок, на которых один из персонажей таинственным образом куда-то исчезает.
Парадоксы с исчезающими фигурками вот уже более ста лет используются в США для рекламы различных товаров. В конце прошлого века известный американский изобретатель головоломок Сэм Лойд придумал вариант парадокса, в котором фигурки китайских воинов располагались по кругу. При повороте диска один из воинов исчезал. С тех пор появилось множество вариантов парадоксов с фигурками, расположенными и вдоль прямой, и по кругу.