А ну-ка, догадайся!
Шрифт:
Еще больше, чем точка, проходимая при подъеме и спуске в одно и то же время, Пата удивила эта лестница. По ней можно идти нескончаемо долго только вверх (или только вниз) и при этом возвращаться на исходное место.
Сколько зубцов на этом грозном
Не могли бы вы сбить из дощечек эту «сумасшедшую» клеть?
Лестница, х-зубец (х = 2 или х = 3) и клеть принадлежат к числу так называемых «невозможных объектов», или «неразрешимых фигур». Невозможную лестницу придумали английский генетик Лайонел С. Пенроуз и его сын математик Роджер Пенроуз, который впервые опубликовал ее в 1958 г. Ее нередко называют лестницей Пенроуза. Она поразила воображение голландского художника М. К. Эшера, который использовал ее в одной из своих литографий «Подъем и спуск».
Автор х-зубца с двумя или тремя зубьями неизвестен. Этот невозможный объект встречается примерно с 1964 г. На обложке мартовского номера журнала Mad за 1965 г. изображен Альфред Э. Нейман, балансирующий таким х-зубцом на указательном пальце.
Автор сумасшедшей клети также неизвестен.
Она изображена на рисунке Мориса Эшера «Бельведер». И невозможная лестница, и невозможный предмет с двумя или тремя зубьями, и сумасшедшая клеть показывают, как легко мы «попадаемся на удочку», считая изображенный на рисунке объект подлинным, хотя в действительности он логически противоречив и, следовательно, не может существовать. Невозможные объекты — своего рода визуальные аналоги таких неразрешимых утверждений, как «Это утверждение ложно», о которых говорилось в главе 1.
Другие примеры невозможных объектов приведены в главе, посвященной оптическим иллюзиям, моей книги «Математический цирк» и в книгах японского художника-графика Митсумасы Анно «Алфавит Анно» и «Неповторимый мир Анно».
Эта извилистая ломаная, напоминающая по форме контур снежинки, не принадлежит к числу невозможных объектов, хотя и парадоксальна. Ее построение мы начнем с контура этой новогодней елки — равностороннего треугольника.
Разделив каждую сторону на 3 равные части, построим на каждой средней части равносторонний треугольник, лежащий снаружи от большого треугольника.
С каждым из меньших треугольников проделаем ту же операцию: разделим их. стороны на 3 равные части и на средних частях построим равносторонние треугольники.
Длина ломаной при этом еще больше возрастет, а сама ломаная станет похожа на шестиугольную снежинку.
С каждым разом ломаная будет становиться все длиннее и красивее.
Продолжая
Кривая-снежинка — один из красивейших представителей бесконечного множества кривых, названных патологическими из-за своих парадоксальных свойств. При неограниченном увеличении числа звеньев длина ломаных в пределе стремится к бесконечности, хотя площадь заключенного внутри ломаных участка плоскости остается конечной. Иначе говоря, если после очередного увеличения числа звеньев ломаной мы станем измерять ее длину и площадь ограничиваемого ею многоугольника, то последовательность длин окажется расходящейся, а последовательность площадей — сходящейся к пределу, равному 8/5 от площади исходного равностороннего треугольника. К предельной кривой ни в одной точке невозможно провести касательную.
Кривая-снежинка — великолепный повод для того, чтобы освежить в вашей памяти все связанное с понятием предела. Можете ли вы доказать, что если площадь исходного равностороннего треугольника принять за единицу, то площадь части плоскости, заключенной внутри предельной кривой, равна 8/5?
Вот несколько задач на построение, тесно связанных с кривой-снежинкой.
1. Постройте кривую-антиснежинку: вычерчивая равносторонние треугольники, пристраивайте их не снаружи, а изнутри, после чего стирайте их основания. На первом этапе вы получите 3 ромба, соединенные в центре наподобие пропеллера. Имеет ли возникающая в пределе кривая-антиснежинка бесконечную длину? Конечна ли площадь ограничиваемой ею части плоскости?
2. Что произойдет, если за исходную фигуру принять не равносторонний треугольник, а какой-нибудь другой правильный многоугольник?
3. Что произойдет, если на каждой стороне строить по нескольку многоугольников?
4. Существуют ли трехмерные аналоги кривой снежинки и ее ближайших сородичей? Например, если на гранях тетраэдров строить тетраэдры, будет ли предельное тело иметь поверхность бесконечной площади? Будет ли его объем конечным?
В статье о патологических кривых, опубликованной в декабрьском номере журнала Scientific American за 1976 г., я рассказал о парадоксальной кривой, открытой Уильямом Госпером и названной «кривой дракона». Другая замечательная кривая, открытая Бенуа Мандельбротом, украшает обложку апрельского номера того же журнала за 1978 г. Ей посвящена моя статья, опубликованная в этом номере журнала.
О других патологических кривых, тесно связанных с кривой-снежинкой, рассказывается и в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».
Если космический корабль полетит все время прямо, никуда не сворачивая, то будет ли он все более удаляться от Земли?
«Не обязательно, — решил Эйнштейн. — Корабль может вернуться, даже если он все время будет лететь прямо».
Чтобы понять парадокс Эйнштейна, начнем с несчастного пойнтландца. Вся его вселенная — это одна-единственная точка, имеющая нуль измерений.
Обитающий на одномерной линии лайнландец подобен червяку, ползущему по канату: если канат бесконечен, то он может путешествовать сколь угодно далеко как в одну, так и в другую сторону.