А ну-ка, догадайся!

Гарднер Мартин

Последуем математику Полу Халмошу и будем считать, что Аозначает пирожки с абрикосовым вареньем, В— с вишневым и С— со сливовым. Предположим, что в буфете в продаже всегда есть пирожки с вареньем только двух сортов. Матрица показывает, как посетитель оценивает пирожки по вкусу, свежести и размерам. По вполне разумным мотивам посетитель может предпочесть пирожки с абрикосовым вареньем пирожкам с вишневым вареньем, пирожки с вишневым вареньем — пирожкам со сливовым вареньем и пирожки со сливовым вареньем — пирожкам с абрикосовым вареньем.

Более подробно парадоксы с нетранзитивными отношениями рассмотрены в моей статье ( Scientific American, октябрь 1974), а также в статье «Выбор избирательной системы» Рихарда Ниемы

и Уильяма Райкера (там же, июнь 1976) и Линн Стин об избирательных системах (там же, октябрь 1980).

Мисс Лоунлихартс

_{Мисс Лоунлихартс по профессии статистик, ей надоело коротать вечера в одиночестве.}

_{Мисс Лоунлихартс.Хорошо бы познакомиться с одиноким интеллигентным мужчиной. Говорят сейчас есть какие-то клубы встреч. Вступлю-ка я в один из них.}

_{Мисс Лоунлихартс записалась сразу в два таких клуба. Однажды оба клуба проводили вечер в великолепном дворце «Парадокс».}

_{Члены одного клуба встречались в Восточной комнате, члены другого— в Западной.}

_{Мисс Лоунлихартс. Одним мужчинам нравится носить усы, другие предпочитают бриться. Одни остроумные, приятные собеседники, другие — страшные зануды и сухари. Я бы предпочла сегодня провести вечер с приятным собеседником. Следует ли мне остановить свой выбор на мужчине с усами?}

_{Мисс Лоунлихартс провела статистическое исследование тех мужчин, которые должны были собраться в Восточной комнате. Оказалось, что среди приятных собеседников 5/11, или 35/77, составляют усатые, а 3/7, или 33/77, — гладко выбритые.}

_{Мисс Лоунлихартс.Решено: в Восточной комнате я все внимание уделяю усатым.}

_{Как показано аналогичное статистическое исследование, среди приятных собеседников, которые должны были собраться в Западной комнате, усатые составляли большинство — 34/126, приходившихся на долю гладко выбритых.}

_{Мисс Лоунлихартс.Как все просто! И в Восточной, и в Западной комнате у меня больше шансов встретить приятного собеседника среди усатых мужчин.}

_К

тому времени, когда мисс Лоунлихартс добралась до дворца «Парадокс», оба клуба встреч решили объединиться, и все перешли в Северную комнату.

_{Мисс Лоунлихартс. Как быть? Если в каждом клубе у меня больше шансов встретить интересного собеседника среди усатых мужчин, то и в объединенной группе он скорее всего окажется с усами. Впрочем, расчеты превыше всего. Подсчитаю-ка я шансы.}

_{Результаты вычислений удивили мисс Лоунлихартс. Шансы встретить интересного собеседника среди усатых мужчин на объединенной встрече оказались ниже, чем среди гладко выбритых!}

_{Мисс Лоунлихартс.Мне пришлось изменить тактику, но зато я была вознаграждена, хотя, признаться, до сих пор не пойму, почему так произошло.}

Этот любопытный парадокс можно продемонстрировать на карточной модели. Пусть красные карты соответствуют приятным собеседникам, черные — унылым сухарям, крест, поставленный карандашом на рубашке карты, — усам, а отсутствие креста — гладко выбритому лицу.

Пометим крестами 5 красных и 6 черных карт.

Добавим к ним 3 красные и 4 черные карты без крестов на рубашках. Всего у нас наберется 18 карт.

Это мужчины, собравшиеся в Восточной комнате.

Перетасуйте 18 карт и разложите их на столе вверх рубашкой. Какую карту вам следует выбрать— с крестом или без креста на рубашке, если вы хотите с наибольшей вероятностью вытянуть красную карту? Нетрудно подсчитать, как это сделано на рисунках, что вероятность вытащить красную карту максимальна, если вы выберете карту, помеченную крестом.

Аналогичным образом постройте модель компании, собравшейся в Западной комнате. Пометьте крестами рубашки 6 красных и 3 черных карты. Добавьте к ним 9 красных и 5 черных карт, не помеченных крестом. Всего у вас наберется 23 карты. Перетасуйте их и разложите вверх рубашкой. Нетрудно доказать, что и в этом случае ваши шансы вытянуть красную карту максимальны, если вы выберете карту, помеченную крестом.

Объедините теперь обе группы карт в одну колоду из 41 карты. Перетасуйте ее и разложите карты вверх рубашкой. Трудно поверить, но, проделав все вычисления, вы обнаружите, что наибольший шанс вытащить красную карту будет у вас в том случае, если вы выберете карту, не помеченную крестом.

С подобными парадоксами статистики сталкиваются, например, при анализе действия лекарств. Обратимся снова к той же карточной модели. На этот раз карты будут изображать две группы пациентов, на которых испытывалось действие лекарственного препарата. Карты, помеченные крестом, пусть означают пациентов, получивших лекарство, карты, не помеченные крестом, — пациентов, получивших «плацебо», или «пустышку», — вещество, не оказывающее никакого действия на организм, красные карты — пациентов, состояние которых улучшилось от приема лекарства, черные — пациентов, состояние которых не улучшилось от приема лекарства. При анализе действия лекарства на каждую группу пациентов в отдельности мы пришли бы к заключению, что лекарство более благоприятно сказывается на состоянии пациента, чем «плацебо». При анализе действия того же лекарства на объединенную группу вывод был бы прямо противоположным: прием «плацебо» оказывает более благоприятное действие на состояние пациента, чем лекарство! Этот парадокс показывает, как трудно придумать схему испытаний, которая давала бы надежные статистические результаты.