Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Беллос Алекс

Расклад	Реальная частота события	Ожидаемая частота события
Все цифры различны	604 976	604 800
Одна пара, три различны	1 007 151	1 008 000
Две пары	216 520	216 000
Три одинаковые	144 375	144 000
Фулл хаус	17 891	18 000
Четыре одинаковые	8887	9000
Пять одинаковых	200	200

В правом столбце показано, сколько раз можно было бы ожидать появления того или иного расклада, если число нормально и если на каждой десятичной позиции с равным шансом могла бы стоять любая цифра. Результаты оказываются вполне в границах ожидаемого. Видно, что каждый расклад чисел появляется с правильной частотой, как было бы, если бы числа на каждой десятичной позиции генерировались случайным образом.

Имеются веб-сайты, на которых можно узнать, когда в числе впервые появляется дата вашего рождения. Первое появление последовательности 0123456789 происходит на 17 387 594 880-м месте — что было установлено только после того, как Канада добрался туда в 1997 году.

Я спросил у Грегори, полагал ли он когда-либо, что в числе может найтись какой-то порядок.

— Нет там никакого порядка, — бросил он довольно презрительно. — А если бы он там и был, то это было бы ненормально и неправильно. Так что нет смысла тратить на это время.

Вместо того чтобы искать закономерности в числе , некоторые воспринимают его случайную природу как колоссальное выражение математической красоты. Число — предопределенное, но при этом оно, по-видимому, необычайно хорошо имитирует случайность.

— Это очень хорошее случайное число, — соглашается Грегори.

Вскоре после того знаменательного вычисления числа братьям Чудновски позвонили из правительства Соединенных Штатов. Дэвид изобразил визгливый голос на другом конце провода: «Не будете ли вы столь любезны прислать нам пи?»

Случайные числа нужны в промышленности и торговле. Пусть, например, некой компании, занимающейся исследованием рынка, требуется сделать опрос среди представительной выборки тысячи людей из населения в миллион. Компания использует генератор случайных чисел, чтобы создать группу выборки. Чем лучше этот генератор производит случайные числа, тем более представительной будет выборка — и тем более точным будет опрос. Подобным же образом последовательности случайных чисел требуются для симуляции непредсказуемых сценариев при тестировании компьютерных моделей. Чем более случайны числа, тем более надежны результаты теста. На самом деле возможны серьезные ошибки, если применяемые для проверки случайные числа недостаточно случайны.

— Ты хорош лишь настолько, насколько хороши твои случайные числа, — замечает Дэвид.

— Ты используешь жуткие случайные числа, но в конце концов все равно оказываешься в жуткой ситуации, — заключает Грегори.

Среди всех множеств доступных случайных чисел десятичное разложение числа — наилучшее.

Здесь, однако, таится некий философский парадокс. Пи, со всей самоочевидностью, не случайно. Его цифры могут вести себя как будто они случайны, но на самом деле они предопределены. Например, если бы цифры в числе были случайны, то шанс, что первая цифра после десятичной запятой будет равна 1, был бы равен всего 10 процентам. Однако же мы с абсолютной определенностью знаем, что там стоит 1. проявляет случайность не случайно — что само по себе и захватывающе, и фатально.

— это математический концепт, который изучался тысячи лет, и тем не менее хранит в себе множество тайн. В течение почти

полутора столетий, прошедших после доказательства его трансцендентности, большого прогресса в понимании природы не наблюдалось.

— По сути дела большая часть того, что там творится, нам неизвестна, — говорит Грегори.

Я спросил, можно ли ожидать какого-либо прогресса в отношении нашего понимания того, что же такое число .

— А то как же! — восклицает Грегори. — Прогресс неостановим. Математика движется вперед.

— Это будет что-то совершенно фантастическое, но это будет здорово, — подытоживает Дэвид.

Глава 5

x– фактор

Автор объясняет, почему числа — это хорошо, но буквы — лучше. Он наносит визит в английскую деревню, где встречает человека, собирающего логарифмические линейки, и выслушивает трагическую историю об их вымирании.

Математики питают определенную склонность к волшебным фокусам. Подобные фокусы бывают забавными, а нередко скрывают за собой интересную теорию. Вот классический фокус, одновременно представляющий собой отличный способ оценить силу и достоинства алгебры. Начнем с того, что выберем любое трехзначное число, в котором первая и последняя цифры отличаются по крайней мере на два — например, 753. Теперь запишем эти же цифры в противоположном порядке: получим 357. Вычтем меньшее число из большего: 753 - 357 = 396. И наконец, сложим полученное число с тем, что получается из него перестановкой цифр в обратном порядке: 396 + 693. Сумма, которая при этом получается, равна 1089.

Попробуем еще: раз с другим числом, например 421:

421 - 124 = 297,

297 + 792 = 1089.

Мы получили тот же самый ответ. На самом деле не имеет значения, с какого трехзначного числа мы начинаем — в конце концов всегда получится 1089. Как по волшебству, из ниоткуда возникает число 1089, подобно скале в зыбучих песках случайно выбранных чисел. Хотя устойчивое появление одного и того же результата для любого исходного числа при применении к нему всего лишь нескольких простых операций и может показаться несколько озадачивающим, тому имеется объяснение, и мы очень скоро до него доберемся. Тайна возникающего вновь и вновь числа 1089 раскрывается практически немедленно после того, как задача переписывается, но не с помощью цифр, а с помощью букв.

* * *

Хотя использование чисел просто для развлечения всегда сопутствовало математическим изысканиям, начало развития собственно математики было обусловлено необходимостью решения задач практического характера. Папирус Ринда, относящийся примерно к 1600 году до н. э. (хранится в Британском музее, а назван в честь владельца — английского египтолога А. Г. Ринда), представляет собой наиболее полный из дошедших до нас математических документов Древнего Египта. В нем содержатся 84 задачи из таких областей, как землемерие, бухгалтерский учет и разделение определенного числа хлебов на заданное число людей.

Египтяне формулировали свои задачи весьма изысканно. К примеру, задача № 30 из папируса Ринда звучит так: «Когда писец спрашивает вас, чему равна куча, если известно, что ²/ ₃+ ¹/ ₁₀от нее составит десять, пусть он услышил правильный ответ». Здесь «куча» — египетский термин для неизвестной величины, которую в наши дни обозначают буквой x, представляющей собой фундаментальный и неотъемлемый символ современной алгебры. Сейчас бы мы задали Задачу № 30 так: чему равно значение x, если ²/ ₃+ ¹/ ₁₀при умножении на xдает 10? Или еще короче: