Алгоритмы развития
Шрифт:
5. О принципах минимума диссипации
Обсуждая принципы отбора и механизмы развития, особое внимание я уделил принципу минимума диссипации. Этот вопрос не нов. Проблема «экономии энтропии» как меры разрушения организации и как меры необратимого рассеяния энергии неоднократно была предметом весьма тщательного анализа. Однако я придал ей не совсем обычную трактовку. Поэтому, формулируя те или иные положения, касающиеся принципа минимума диссипации, необходимо показать их связь с теми утверждениями, которые формулировались другими авторами.
Мое утверждение, касающееся процессов, протекающих в мире «косной» материи, было следующим: если множество возможных
Именно это утверждение я и назвал «принципом минимума диссипации». Оно не является строгим утверждением, подобно принципам механики. Это всего лишь предположение, но достаточно правдоподобное и не противоречащее экспериментальному материалу. Кроме того, оно позволяет получать весьма полезные результаты для практики. Приведем один пример, иллюстрирующий его применение.
Рассмотрим установившееся движение по трубе смеси двух жидкостей разной вязкости, но одинаковой плотности. Коэффициент вязкости смеси этих жидкостей т) будет зависеть от их процентного соотношения. Обозначим через с концентрацию более вязкой жидкости. Рассматриваемое течение моделирует движение суспензии, представляющей собой жидкость со взвешенными в ней частицами, когда их характерный размер очень мал – в десятки раз меньше диаметра трубы. В этом случае, как это известно из многочисленных экспериментов13, в узкой зоне около стенок трубы взвешенные частицы отсутствуют. Это явление носит название пристеночного эффекта. Его аналитическое исследование было проведено Ю. Н. Павловским14.
Движение смеси двух жидкостей одинаковой плотности и разной вязкости можно интерпретировать как движение некоей вязкой жидкости, подчиняющейся уравнением Навье – Стокса, – жидкости, концентрация которой может быть некоторой функцией расстояния от центра трубы:
c = c (R).
Если считать количество жидкой субстанции и градиент давления вдоль оси трубы заданными величинами, то для каждого распределения c(R) мы можем построить свое течение Пуазейля, причем расход Q будет зависеть от характера функции с(R).
Поставим вопрос: какой должна быть функция c(R), которая максимирует величину расхода Q при заданных перепаде давления вдоль оси трубы и процентном содержании в смеси более вязкой жидкости, т. е. какова должна быть функция c(R), которая минимизирует долю кинетической энергии жидкости, переходящую во внутреннюю энергию в результате действия сил вязкости?
Ю. Н. Павловский показал, что функция c(R), удовлетворяющая этому требованию, такова, что всегда около стенки трубы существует некоторый интервал, зависящий от перепада давлений и количества более вязкой жидкости в единице объема смеси, внутри которого c(R) = 0.
Таким образом, течение, удовлетворяющее минимуму диссипации энергии, обладает пристеночным эффектом. Обратное утверждение строго доказать не удается – оно всего лишь не противоречит экспериментальному материалу. Нетрудно привести еще серию примеров,
Итак, опытные данные показывают, что существует определенный класс явлений в неживом веществе, для которых принцип минимума диссипации энергии оказывается одним из важных принципов, позволяющих выделить реальные состояния из множества виртуальных. На этом основании в предлагаемой книге и был сформулирован и использовался этот принцип – как некоторое эмпирическое обобщение, как некоторая гипотеза. Именно в такой форме он и был внесен в иерархию принципов отбора. Он играл роль «замыкающего принципа отбора: когда другие принципы не выделяют единственного устойчивого состояния, а определяют некоторое целое их множество, то принцип минимума диссипации энергии служит дополнительным принципом отбора. Заметим, что среди неустойчивых движений могут быть и такие, которым отвечает меньшее производство энтропии. Однако из-за их неустойчивости мы их не наблюдаем.
Наше утверждение не только не является строгой теоремой, но и вряд ли оно может быть обосновано с традиционных позиций, согласно которым обоснование того или иного вариационного принципа сводится к доказательству того, что экстремалями минимизируемого функционала являются уравнения движения. В нашем случае мы определяем функционал уже на множестве функций, удовлетворяющих уравнениям движения. Мне кажется, что обсуждаемый факт связан с общим стохастическим фоном любого явления, случающегося в нашем мире.
Заметим, что, никогда специально не формулируя, мы всегда пользуемся еще одним подобным принципом – «принципом устойчивости», который также связан со стохастичностью нашего мира. Этот принцип я бы сформулировал так: множество реально наблюдаемых стационарных состояний включает в себя лишь устойчивые состояния. Он тривиален, если учесть, что любая система все время подвержена действию случайных возмущений. В самом деле, мы никогда не наблюдаем карандаша, стоящего на своем острие, или маятника в его верхнем, неустойчивом состоянии.
Вариационные принципы возникли в механике и сыграли выдающуюся роль в ее развитии и создании эффективных численных и аналитических методов решения различных прикладных задач. В последующем вариационный подход широко использовался и при создании более сложных физических теорий. На этом пути очень важные результаты были получены еще в 1931 г. создателем неравновесной термодинамики Л. Онсагером, который сформулировал следующий вариационный принцип15: при постоянных условиях на границе некоторого объема V имеет место равенство
где s – производство энтропии, Ф – функционал рассеяния, а означает обычный символ варьирования. Из (1), как это показал Бёрёш16, могут быть выведены уравнения Навье – Стокса. В 1947 г. И. Р. Пригожиным для стационарных условий был получен другим путем принцип, который был назван им принципом минимума производства энтропии17:
Оказалось, что при изученных условиях принципы (1) и (2) эквивалентны. Этот факт установил И. Дьярмати18.