Алхимия человеческого духа
Шрифт:
Этот вопрос очень наглядно показывает, какими твердолобыми мы, люди, можем быть. Два года я всматривался в геометрию констант круга, задаваясь вопросом: «Почему круг естественным образом де-лится на шесть частей (шестиугольник?)?» Я располагал математикой единства с «пропущенным целым числом» и всеми составляющими, чтобы сказать: «Ага! Универсальная система счисления должна быть двенадцатиричной (шесть является средним целочисленным и эквивалентом в двенадцатиричной системе пропущенного целого числа нашей десятичной системы). И кроме этих пунктов, существует еще не одно подтверждение. Из пятиугольника вытекает одна удивительная пропорция, которую открыл и продемонст-рировал Евклид. Она называется „золотым сечением“.
В области геометрии оно ведет себя точно так же, как выпадающая 8 возрастающей последователь-ности в десятичной системе счисления. Далее, тот факт, что круг на вторичном уровне (первичное деление круга заключается в том, что циркуль, расстояние между ножками которого равняется радиусу окружности, «обходит ее по кругу» ровно шесть раз) естественным образом делится на треугольники (три стороны) и квадраты (четырехсторонние фигуры), показывает, что круг является феноменом, относящимся к двена-дцатиричной системе счисления.
С арифметической точки зрения у золотого сечения также наблюдаются интересные соотношения. Некоторые из них уже хорошо известны, другие же, возможно, будут представлены здесь впервые. Я при-вожу их как «априорное знание», проверенное другими, более сведущими математиками, жившими преж-де.
В арифметике золотое сечение выражается как (+ 1) / 2! Заметьте, что это выражение состоит из Единства, Диады и среднего целочисленного от основания десятичного счисления (5)! Это не случай-ность и не какая-то обособленная симметрия. Можно обнаружить, что присутствие 1,2 и 5 в арифметике очень распространено. Одна из самых широко известных симметрии состоит в том, что «отношение всех чисел ряда Фибоначчи является золотым сечением». Фибоначчи был средневековым математиком, который открыл, что в простых условиях, применимых к числам, присутствуют симметричные модели роста. В классической истории, иллюстрирующей последовательности Фибоначчи, рассказывается о том, как один фермер покупал пару кроликов и подсчитывал, сколько у него их будет, если каждый месяц они будут при-носить крольчат. Он смог вычислить, сколько кроликов появится в каждый конкретный месяц (предпола-гая, что кролики живут вечно)! Другой способ определить «предельное» отношение ряда Фибоначчи: «все числа, к обратным величинам которых добавляется единица, при последующих операциях будут стано-виться золотым сечением». В общем, какое случайное или большое число вы ни возьмете, оно по своей сути связано с золотым сечением.
Я сейчас приведу некоторые математические выкладки для некоторых чисел. Я знаю, что у подав-ляющего большинства читателей от этого заболит голова и они постараются пропустить этот материал. Это результат скудости преподавания математики в школе. Обещаю вам, что вы поймете эти выкладки по мере того, как я буду проводить вас через них, и вы увидите, что они не «нагоняют туману», а являются лишь общепринятой формой записи. Чуть позже я добавлю пару уравнений с меньшим количеством коммента-риев, которые предназначаются для тех, кто более привычен к математическим записям. Я также без труда мог бы пояснить и их, но эта книга посвящена не математике, и я не хочу занимать слишком много места. Я лишь считаюсь с вашим желанием, по которому вы купили эту книгу, предпочтя ее другим.
В математике общепринятым символом для обозначения золотого сечения является?.
Золотое сечение =? = (+ 1) / 2 = 1,618033989…
Таким образом, когда я пишу символ?, вы знаете, что за ним кроется определенное непосредствен-ное число и «олицетворение математики единства» (1, 2 и 5). Арифметическое представление? приводит к некоторым четким и симметричным выражениям, которые присущи только золотому сечению.
1 /? =?? 1 = 1 / 1,618033989 = 0,618033989;
?2 =? + 1 = 1,6180339892= 2,618033989;
(1 /?) + 2 =?2 = 0,618033989 + 2 = 2,618033989.
Этот особый тип симметрии не встречается нигде больше в арифметической теории чисел. Сущест-вует также «двоюродный брат» в отношении и, который следует предполагать в математике единства, но удивительная симметрия Ф такова, что это число как бы говорит: «я — точка опоры, вокруг которой сбалансирована теория чисел».
В отношении этого уместен вопрос: «Существуют ли какие-нибудь арифметические доказательства утверждения в посланиях Крайона, что в основании вселенской теории чисел лежит двенадцатиричная сис-тема счисления?» Ответ: «Да, этому существуют прекрасные арифметические доказательства», и я их вам продемонстрирую. Если у вас есть хороший карманный калькулятор, который выполняет функции возве-дения в квадрат и извлечения корня, достаньте его и следите за ходом моей мысли.
Прежде чем перейти к доказательствам золотого сечения, я хочу продемонстрировать несколько бо-лее общих аспектов того, что происходит в десятичной системе касательно соотношения с 12.
На своем калькуляторе наберите какое-нибудь число (не слишком большое, чтобы на экране остава-лось место; избегайте также «точных значений квадратных корней», т.е. = 3, = 5). Например, вве-дите цифры 6, 7, 2, 5, 3. Затем найдите квадратный корень из вашего числа и прибавьте к нему 5. Затем на-жмите кнопку возведения в квадрат и посмотрите, что произойдет! Иррациональные части двух чисел бу-дут тождественными! Это продолжается до «бесконечности». Это подходит для всех чисел.
Для тех, у кого под рукой нет калькулятора, я приведу один пример здесь:
Возьмите любое случайное число (мы выбрали 43).
Найдите квадратный корень этого числа:
= 6,557438524…
Прибавьте к нему 5:
6,557438524 + 5 = 11,557438524.
Возведите это число в квадрат:
11,5574385242 = 133,57438524.
Вы видите, что выделенная жирным шрифтом «иррациональная часть» обоих чисел тождественна? Что тут творится? Существует одно алгебраическое тождество, которое объясняет механизм этого. Оно вы-глядит так:
2x (+ x)? (+ x)2 = x2? n,
где n и x — любые числа. (В нашем случае n = 5.)
Чтобы решить это, просто выберите любое значение n и какое-то значение x, затем подставьте его в это выражение, убедившись, что сначала вы складываете цифры внутри скобок. Если x = 5, то 2x = 10. 2x в этом уравнении выступает в роли «десятичного преобразователя» и, таким образом, автоматически «обра-щает иррациональные части двух чисел (+ x) и (+ x)2» в точно такие же ряды. Когда мы вычитаем одно из другого, мы их «уничтожаем», и остается (x2? n).
В отношении класса иррациональных чисел возникают некоторые интересные вещи, но в отношении вопроса о двенадцатиричной системе счисления интереснее вычисление выражения (x2? n). Для десятич-ного основания (где x = 5), x2 = 25. Мы можем использовать это выражение (x2? n) для того, чтобы уви-деть, какие результаты даст ряд различных чисел в области «вариантов». (x2? n) является разницей между двумя числами: 2x (+ x) и (+ x)2. Это выглядит следующим образом:
x2? n (где x = 5).
25? 0? = 25, 25? 2 = 23, 25? 3 = 22, 25? 4 = 21, 25? 5 = 20, 25? 6 = 19, 25? 7 = 18, 25? 8 = 17,