Алиса в стране Смекалки

Смаллиан Рэймонд М.

– Не имею ни малейшего представления, с чего начать!

– Начнем хотя бы с вопроса, может ли зазеркальный логик быть убежденным в истинности истинного утверждения, – предложил Шалтай-Болтай.

– Как же иначе? – удивилась Алиса.

– А ты помнишь, что я тебе доказывал? – спросил Шалтай-Болтай. – Всякий раз, когда зазеркальный логик в чем-то уверен, он также уверен, что не уверен в этом.

– Еще как помню! – сказала Алиса. – Только забыла, как вы это доказывали. Не могли бы вы повторить доказательство еще раз?

– Сколько угодно! – охотно согласился Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. Так как он

убежден в истинности этого утверждения, то (по условию 1) он заявляет, что оно истинно. Следовательно (по условию 2), он заявляет также, что не убежден в истинности этого утверждения. В свою очередь (по условию 1) отсюда следует, что он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения.

– Вот теперь я вспомнила! – обрадовалась Алиса.

– Для большей уверенности, что ты больше не забудешь его, попрошу тебя записать мое утверждение в записную книжку под заглавием «Утверждение 1».

Так Алиса и сделала. Вот что она записала:

«Утверждение 1. Всякий раз, когда зазеркальный логик убежден в чем-нибудь, он убежден, что не убежден в этом».

– Но это еще не все, – сказал Шалтай-Болтай. – Необходимо также иметь в виду, что если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в его истинности.

– Почему? – спросила Алиса.

– Это легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Возьмем любое истинное утверждение. По условию 3 зазеркальный логик заявляет, что убежден в его истинности. Поскольку он заявляет, что убежден в истинности истинного утверждения, то он (по условию 1) честен. Следовательно, он убежден, что убежден в истинности истинного утверждения.

– Понятно! – сказала Алиса.

– Запиши-ка себе все это в записную книжку и озаглавь «Утверждение 2», – предложил Шалтай-Болтай.

И Алиса записала:

«Утверждение 2. Если дано любое истинное утверждение, то зазеркальный логик убежден, что он убежден в истинности этого утверждения».

– Теперь ты понимаешь, – спросил Шалтай-Болтай, – почему зазеркальный логик не может быть убежденным в истинности истинного утверждения?

– Не совсем, – призналась Алиса.

– Такое заключение нетрудно вывести из утверждения 1, утверждения 2 и условия 4, – сказал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение, в истинности которого убежден зазеркальный логик. По утверждению 1 он убежден, что не убежден в истинности этого утверждения. Но он не может быть одновременно убежденным, что он убежден в истинности этого утверждения (так как по условию 4 он не может быть убежденным в чем-то и одновременно быть убежденным в противоположном). А так как он не убежден, что убежден в истинности утверждения, то оно не может быть истинным, потому что если бы оно было истинным, то по утверждению 2 зазеркальный логик был бы убежден, что убежден в его истинности. Но в действительности он не убежден, что убежден в истинности рассматриваемого утверждения. Следовательно, оно не может быть истинным. Итак, ты видишь, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден в истинности любого истинного утверждения. Все утверждения, в истинности которых убежден зазеркальный логик, ложны.

Алисе пришлось изрядно поразмыслить над сказанным.

– Весьма сложное доказательство! – наконец сказала она.

– Ничего, со временем привыкнешь! – заверил ее Шалтай-Болтай.

Алиса поразмыслила еще немного.

– Мне хотелось бы спросить, – обратилась она к Шалтаю-Болтаю, – обязательно ли зазеркальный логик должен быть убежден в истинности всех ложных

утверждений или просто он убежден в истинности только ложных утверждений?

– Хороший вопрос, дитя мое! – одобрил Шалтай-Болтай. – И ответ на него хороший: «Да». Возьмем любое ложное утверждение. По условию 5 зазеркальный логик либо убежден в истинности этого утверждения, либо убежден в истинности противоположного утверждения. Но в истинности противоположного утверждения он не может быть убежден, так как оно истинно. Следовательно, зазеркальный логик убежден в истинности ложного утверждения.

– Как необычно! – воскликнула Алиса. – Подумать только! Зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений!

– Совершенно верно! – сказал Шалтай-Болтай. – И это самое прекрасное в зазеркальной логике! Не могу не отметить еще одну весьма интересную ее особенность, – добавил он. – Всякий, кто убежден в истинности всех ложных и не убежден в истинности истинных утверждений и честно выражает свои убеждения, повторяю, всякий, кто придерживается таких убеждений, удовлетворяет пяти основным условиям, характеризующим зазеркальных логиков.

– Почему? – спросила Алиса.

– О, это очень легко доказать! – ответил Шалтай-Болтай. – Представим себе абсолютно честного человека, который убежден в истинности тех и только тех утверждений, которые ложны. Так как он честен, то, разумеется, удовлетворяет условию 1. А как обстоит дело с условием 2? Предположим, этот человек заявляет, что некоторое утверждение истинно. Поскольку он честен, этот человек действительно убежден в истинности того утверждения, о котором идет речь. Следовательно, неверно, что он не убежден в истинности утверждения. Вместе с тем этот человек убежден в истинности всего, что ложно, даже если речь идет о ложных представлениях о его собственных убеждениях! Таким образом, неверно, что он не убежден в истинности утверждения, а, так как он убежден в истинности всего, что ложно, он должен быть убежден в ложном факте, состоящем в том, будто он не убежден в истинности утверждения. Иначе говоря, наш честный человек убежден, что он не убежден в истинности утверждения. А так как он убежден, что не убежден в истинности утверждения, то он заявляет, что не убежден в его истинности (напоминаю, что речь идет о честном человеке). Следовательно, наш честный человек удовлетворяет условию 2.

Перейдем теперь к условию 3. Возьмем любое истинное утверждение. Так как оно истинно, то тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, не убежден в истинности выбранного нами произвольного истинного утверждения. Так как он не убежден в истинности утверждения, то должен быть убежден, что убежден в его истинности (поскольку все его убеждения правильнее было бы назвать заблуждениями!). А раз он убежден, что убежден в истинности утверждения, он не может не заявить, что убежден в его истинности. Тем самым доказано, что он удовлетворяет условию 3.

– Условия 4 и 5 очевидны, – продолжал Шалтай-Болтай. – Возьмем любое утверждение и противоположное утверждение. Одно из них должно быть истинно, другое ложно. Следовательно, тот, кто убежден в истинности ложных и не убежден в истинности истинных утверждений, убежден в истинности ложного (прямого или противоположного) утверждения и не убежден в истинности истинного. Значит, он не убежден в истинности обоих утверждений (и поэтому удовлетворяет условию 4), но зато убежден в истинности по крайней мере одного из них (и поэтому удовлетворяет условию 5).