Бесконечный регресс и основания математики

Лакатос Имре

Увлекательная история евклидианской программы и ее упадка еще не написана, хотя вообще-то известно, что в высших регионах дедуктивных структур современная наука движется к терминам все более теоретическим и к высказываниям все более невероятным, а не к более тривиальным терминам и высказываниям. Переключиться на эмпирицистскую программу и фиксировать основания внизу теории было очень трудно; это был один из наиболее драматических моментов в истории человеческого мышления, ибо из него следовало радикальное изменение в первоначальном евклидианском рациональном мировоззрении. Если истинностное значение вводится лишь снизу, теория либо предположительна, либо ложна. Таким образом, тогда как евклидианская теория верифицируется, эмпирицистская теория фальсифицируема, а не верифицируема. Обе программы не обходятся без истин, которые, взятые порознь, тривиальны и неинтересны, но благодаря своему местоположению тривиальная истина заполняет всю евклидианскую теорию, чего не происходит в эмпирицистской теории.

Евклидианец никогда не признает поражения: его программа не допускает опровержения. Невозможно

опровергнуть экзистенциальное утверждение о том, что существует набор тривиальных первых принципов, из которых следует вся истина. Наука, стало быть, всегда может быть подчинена евклидианской программе как регулятивному принципу, "влиятельной метафизике".* [9] Всякий раз, когда какая-либо отдельная "кандидатура" не проходит в евклидианские теории, евклидианец может отрицать, что евклидианская программа как целое разбита. Фактически строгие евклидианцы постоянно открывали для себя, что "евклидианские" теории их предшественников не были в действительности евклидианскими, что интуиция, устанавливавшая истинность аксиом, была неправомерной, сбившейся, что это был блуждающий огонек, а не истинно направляющий свет разума. Они могут либо снова начать сначала, либо заявить, что извилистая тропа к солнечным вершинам тривиальности идет только через мрачные ущелья. Остается лишь надеяться и карабкаться дальше.

9

*Лакатос в этом месте подходит к понятию научной исследовательской программы, сформулированному им в последующих работах. Разбираемые им программы обоснования математики могут быть истолкованы в духе этого понятия. Экзистенциальное утверждение о том, что существует набор тривиальных первых принципов, из которых следует вся истина, составляет "жесткое ядро" евклидианской научной исследовательской программы. Это "жесткое ядро" окружено "защитным поясом", включающим конкретные исчисления, отвечающие евклидианской установке. "Жесткое ядро" сохраняется, пока исследовательская программа работает. Его можно уподобить "влиятельной метафизике", т.е. положениям, стоящим над эмпирической проверкой и направляющим научный поиск. (Поппер и попперианцы ушли от того отрицательного отношения к "метафизике", которое было у неопозитивистов.)

Близорукий и усталый евклидианец, возможно, примет темное ущелье за сияющую вершину. В то время как критика и, конечно же, опровержение могут детривиализировать наиболее тривиальные на вид предпосылки знания, прекрасный пример - эйнштейновская критика одновременности, авторитарная трактовка и корроборация могут тривиализовать (толкая к неоспоримым основаниям знания) весьма утонченные на вид спекуляции, забавный пример - кантовский подход к ньютоновской механике. Опровержение заставляет нас учиться, корроборация - забывать. Таким образом, самонадеянный рационализм может - оказавшись чем-то вроде "резинового евклидианизма" ("rubber-Euclideanism") - расширить границы самоочевидного, и он, вероятно, делает это, причем не только в победоносные для себя периоды, но также и в периоды отчаянного отступления.

3) Некоторые догматики постарались спасти Знание от скептиков, используя неевклидовый метод. Изгнанный с верхнего уровня разум стремится найти прибежище внизу. Однако истина внизу не имеет той силы, которую она имела наверху. Для восстановления симметрии была призвана индукция. Индуктивистская программа возникла в рамках усилий соорудить канал, посредством которого истина течет вверх от базисных положений, и таким образом установить дополнительный логический принцип, принцип ретротрансляции (retransmission) истины. Такой принцип делает законным то наполнение системы истиной снизу, которое предполагает индуктивист. "Индуктивистская теория", подобно евклидианской теории, является, конечно, внутренне непротиворечивой, ибо все входящие в нее высказывания истинны.

В XVII в. индуктивный канал не выглядел очевидно невозможным, как он выглядит теперь: ведь тогда дедукция базировалась на картезианской интуиции, а аристотелевская формальная логика принижалась. Если существует дедуктивная интуиция, почему бы не составить ей пару в виде индуктивной интуиции? Однако история логики (или теории каналов истинностных значений) от Декарта до наших дней была в сущности историей критики и совершенствования дедуктивных каналов и разрушения индуктивных каналов. Как то, так и другое осуществлялось путем превращения логики в "формальную".

Если индуктивизм снизу, исходя из обычного эмпирического базиса, желает доказать сомнительные оккультные теоретические высказывания, он должен также тщательно прояснить значения теоретических терминов. Без зрелых понятий нет зрелых истин. Таким образом, индуктивисту приходится определять теоретические термины в "наблюдаемых". Это не может быть сделано формулированием явных определений, и индуктивист пытается выйти из положения, формулируя неявные контекстуальные определения, формулируя "логические конструкты".* [10] Когда в математике хотят доказать что-либо сверху, приходится переопределять, реконструировать все, пользуясь общеизвестными терминами, расположенными вверху теории. Когда в естественной науке хотят доказать что-либо снизу, приходится переопределять, реконструировать все, пользуясь общеизвестными терминами, расположенными внизу теории ("строгий индуктивист", в частности, стремится к тому, чтобы не только истина текла снизу, но и значение двигалось таким же образом, ибо истина не может втекать в неосмысленные высказывания). Проблема индуктивного доказательства и проблема определения теоретических терминов в наблюдаемых - она может быть названа проблемой индуктивного определения - являются, таким образом, проблемами-близнецами, а их разрешимости - иллюзиями-близнецами.* [11]

10

*В

свое время неопозитивисты много внимания уделяли логическому аппарату, позволяющему строить определения теоретических конструктов в терминах непосредственного наблюдения. Контекстуальным называется определение, в котором значение термина задано некоторым контекстом или контекстами, на основе анализа которых оно может быть сформулировано в явном виде (см.: Горский Д.П. Определение: логико-методологические проблемы. М.: Мысль, 1974. С. 50-61).

11

*Расселовский метод "конструкционизма" был попыткой решить проблему индуктивного определения и, следовательно, установить твердое концептуальное основание для его индуктивизма.

Первоначальная версия индуктивистской программы была разрушена скептической критикой. Но большинство еще не может принять эмпирицистскую революцию, они еще рассматривают ее как оскорбление достоинства Разума. Некоторые новейшие идеологи индуктивизма - я теперь обращаюсь к характерному воззрению логического позитивизма - создали обширную литературу в защиту новой, ослабленной, версии старой программы в защиту вероятностного индуктивизма. Кроме того, они не могут допустить (и в этом они правы), чтобы научная дедуктивная система была бы неосмысленной. Более того, они утверждают, что теория осмысленна, если ее днище достигает уровня наблюдаемых положений. Однако в то время как их "принцип верификации" допускает, что теоретические положения являются осмысленными, мы остаемся в потемках относительно того, каково же их действительное значение. Строгие эмпирицисты не могут допустить иного введения смысла, чем снизу теории. Они не правы в этом. Но являются ли тогда теоретические положения осмысленными, не обладая каким-либо особым смыслом? Они разрешают эту дилемму, радикально расширяя понятие определения - понятие передачи значения - настолько, чтобы охватить "редукцию", логическую манипуляцию, призванную передавать вверх от наблюдаемых к теоретическим терминам если не полные, то по крайней мере некоторые частичные эрзацевые значения.

Затем, так как они знают и принимают формальную логику, они вынуждены рассматривать индукцию как неполноценный вывод. Но теперь, расширив понятие передачи значения, они расширяют понятие передачи истинности таким образом, что допускают ретротрансляцию вверх от положений наблюдения к теоретическим положениям если не полноценной истины, то, по крайней мере, частичной вероятностной истины, некоторой "степени подтверждения".* [12]

Теория, построенная на вероятностной индукции, вероятно непротиворечива. В любой момент может появиться вероятностная теория вероятностной непротиворечивости.

12

 *Эта идея может быть прослежена от Лейбница (Лейбниц, 1984. С. 420-421) и Гюйгенса (Huyghens, 1690, Preface; Гюйгенс, 1935. Предисловие). Индуктивная логика была замещена Кейнсом, Рейхенбахом и Карнапом новой, более слабой, вероятностной логикой. См. ссылки и критику у Поппера (Popper, 1959, chap. X).

Критикуя устарелый, недееспособный и претенциозный новейший индуктивизм, не следует забывать его благородное происхождение. Кредо индуктивиста XVII-XVIII вв. играло важную и прогрессивную роль. Это была Lebensl"uge* [13] молодой спекулятивной науки в темную допопперианскую эпоху Просвещения* [14] , когда догадки презирались, а опровержение считалось неприличным и где установление надежного источника истины было вопросом выживания. Передача власти от Откровения фактам, разумеется, встречала оппозицию церкви. Схоластические логики и "гуманисты" не уставали предрекать печальный исход индуктивистского предприятия, показывали - на базе формальной аристотелевской силлогистики, - что не может быть законного вывода от действий к причинам и научные теории, следовательно, не могут быть истинными, они могут быть лишь инструментами погрешимых (fallible) предсказаний, т.е. "математическими гипотезами". Они провоцировали тех идеологов современной науки, которые отвергали аристотелевскую логику и проповедовали неформальную индуктивную логику и индукцию. Защищая истину откровения, они подвергали разрушительной критике истину разума и опыта. В XVII в. альянс евклидианизма и индуктивизма защищал науку от унижения и боролся за её высокий статус.

13

 *Ложь во спасение (нем.).

14

*Подобно тому как Просвещение объявило темной ночью эпоху средних веков, Лакатос иронически погружает в "темную ночь" допопперианскую науку, науку эпохи Просвещения. Эта ирония идет в русле типичного для философии XX в. разоблачения "предрассудков Просвещения".

Эмпирицисты совершенствовались, критикуя евклидианизм. Они критиковали гарантию интуитивной евклидианской истинности, вводимой в теорию, - самоочевидность. Завершающий эмпирицистский удар по индуктивизму был, однако, парадоксальным образом нанесен философом, который совершал эпистемологическую революцию, находясь за пределами эмпирицизма, а именно - Поппером. Критикуя вероятностную версию теории индуктивного вывода, Поппер показал, что снизу вверх не может идти даже частичная передача истины и значения. Он также показал, что введение смыслового и истинностного значений снизу теории совсем нетривиально, что нет "эмпирических терминов", а есть только "теоретические", и что нет ничего окончательного в истинностных значениях базисных положений, и тем самым осовременил древнегреческую критику чувственного опыта.