Большая Советская Энциклопедия (ЭЛ)

Большая Советская Энциклопедия

Эллиптические координаты

Эллипти'ческие координа'ты, координаты, связанные с семейством софокусных эллипсов и гипербол (см. Софокусные кривые ). Э. к. точки М и её декартовы координаты х, у связаны соотношениями х = с chu cos v, у = с shu sin v.

Эллиптические траектории

Эллипти'ческие траекто'рии, траектории , которые может описывать материальная точка (или центр масс тела) при движении под действием силы ньютонианского тяготения . В поле

тяготения Земли, если пренебречь сопротивлением среды, Э. т. будет в 1-м приближении траектория центра масс тела, которому вблизи поверхности Земли сообщена начальная скорость

, где

 » 11,2 км/сек — вторая космическая скорость (R — радиус Земли, g — ускорение силы тяжести).

Эллиптические функции

Эллипти'ческие фу'нкции, функции, связанные с обращением эллиптических интегралов . Э. ф. применяются во многих разделах математики и механики как при теоретических исследованиях, так и для численных расчётов.

Подобно тому как тригонометрическая функция u = sinx является обратной по отношению к интегралу

так обращение нормальных эллиптических интегралов 1-го рода

где z = sin jw, k — модуль эллиптического интеграла, порождает функции: j = am z — амплитуда z (эта функция не является Э. ф.) и w = sn z = sin (am z ) — синус амплитуды. Функции cn — косинус амплитуды и dn z — дельта амплитуды определяются формулами

Функции sn z, cn z, dn z называют Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn²z + cn² z = k² sn²z + dn²z = 1.

На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби. Они связаны соотношением

sn²z + cn² z = k² sn²z + dn²z = 1

На рис. представлен вид графиков Э. ф. Якоби для действительного x и 0 < k < 1; а

— полный нормальный эллиптический интеграл 1-го рода и 4K — основной период Э. ф. sn z. В отличие от однопериодической функции sin х, функция sn z — двоякопериодическая. Её второй основной период равен 2iK, где

и

 — дополнительный модуль. Периоды, нули и полюсы Э. ф. Якоби приведены в таблице, где m

и n — любые целые числа.

Функции	Периоды	Нули	Полюсы
sn z	4Km + 2iK'n	2mK + 2iK'n	}2mK + (2n + 1) iK'
cn z	4K + (2K + 2iK' ) n	(2m + 1) K + 2iK'n
dn z	2Km + 4iK'n	(2m + 1) K + (2n + 1) iK

Э. ф. Вейерштрасса ~A(х ) может быть определена как обратная нормальному эллиптическому интегралу Вейерштрасса 1-го рода

где параметры g₂ и g₂ — называются инвариантами ~A(x ). При этом предполагается, что нули e₁ , e₂ и e₃ многочлена 4t³ — g₂t — g₃ различны между собой (в противном случае интеграл (*) выражался бы через элементарные функции). Э. ф. Вейерштрасса ~A(х ) связана с Э. ф. Якоби следующими соотношениями:

,

,

.

Любая мероморфная двоякопериодическая функция f (z ) с периодами w₁ и w₂ , отношение которых мнимо, т. е. f (z + m w₁ + п w₂ ) = f (z ) при m , n = , ± 1, ±2,... и

, является Э. ф. Для построения Э. ф., а также численных расчётов применяют сигма-функции и тэта-функции .

Изучению Э. ф. предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое изложение теории которых дал А. Лежандр . Основоположниками теории Э. ф. являются Н. Абель (1827) и К. Якоби (1829). Последний дал развёрнутое изложение теории Э. ф., названное его именем. В 1847 Ж. Лиувилль опубликовал изложение основ общей теории Э. ф., рассматриваемых как мероморфные двоякопериодические функции. Представление Э. ф. через ~A-функцию, а также z-, s-функции дано К. Вейерштрассом в 40-х гг. 19 в. (две последние не являются Э. ф.).