Большая Советская Энциклопедия (ЭЙ)

Большая Советская Энциклопедия

2) Э. ф., дающая разложение функции sin х в бесконечное произведение (1740):

.

3) Тождество Эйлера о простых числах:

,

где s = 1, 2,..., и произведение берётся по всем простым числам р.

4) Тождество Эйлера о четырёх квадратах:

(a² +b²+ c² + d² )(p² + q² + r² + s² = x²+y²+z²+t² ,

где

,

,

,

.

5) формула Эйлера о кривизнах (1760):

.

Она даёт выражение кривизны 1/R любого нормального сечения поверхности через её главные кривизны 1/R₁ и 1/R₂ и угол j между одним из главных направлений и данным направлением.

Эйлеру принадлежит также Эйлера—Маклорена формула суммирования, Эйлера—Фурье формулы для коэффициентов разложений функций в тригонометрические ряды .

Лит. см. при ст. Эйлер .

Эйлера функция

Э'йлера фу'нкция, число j(а ) натуральных чисел, меньших, чем а , и взаимно простых с а :

,

где p₁ ,... , p_k — простые делители числа а. Введена Л. Эйлером в 1760—61. Если числа а и b взаимно просты, тоj(ab ) = j(а ) j(b ). При т> 1 и наибольшем общем делителе (а , m ) = 1, а , m — взаимно просты, имеет место сравнение a^{j(m )}= 1 (mod m ) (теорема Эйлера). Э. ф. встречаются во многих вопросах чисел теории .

Эйлера числа

Э'йлера чи'сла в математике, целые числа Е_п , являющиеся коэффициентами при tⁿ /n !, в разложении функции 1/ cht (см. Гиперболические функции ) в степенной ряд:

Введены Л. Эйлером в 1755. Э. ч. связаны рекуррентным соотношением (Е +1) ⁿ +(E ¾1) ⁿ = 0, n = 1, 2, 3,..., E₀ = 1 (после возведения в степень надо вместо E^k подставить E_k ) и с Бернулли числами— соотношениями

,

 и

.

Встречаются в различных формулах математического анализа.

Эйлера число

Э'йлера число', один из подобия критериев движения жидкостей или газов. Характеризует соотношение между силами давления, действующими на элементарный объём жидкости или газа, и инерционными силами. Э. ч. Eu определяют формулой

(иногда 2p/ ru² ), где p₂ , p₁ — давления в двух характерных точках потока (или движущегося в нём тела), ru² /2— скоростной напор, r — плотность жидкости или газа, u — скорость течения (или скорость тела). В случае течений жидкости с кавитацией аналогичный критерий называется числом кавитации

,

где p _— характерное давление, р_н— давление насыщенных паров жидкости. В сжимаемых газовых потоках Э. ч. в форме Eu = 2p/ ru² связано с другими критериями подобия — Маха числом М и отношением удельных теплоёмкостей среды g — формулой Eu = 2/ gM² , где g = c _p /c_v (c_p— удельная теплоёмкость при постоянном давлении, c_v — то же при постоянном объёме). Названо по имени Л. Эйлера .

Эйлера-Маклорена формула

Э'йлера—Макло'рена фо'рмула, формула суммирования, связывающая частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

где B_v —Бернулли числа , R_n — остаточный член. Э.—М. ф. применяется для приближённого вычисления определённых интегралов, для исследования сходимости рядов, для вычисления сумм и для разложения функций в ряд Тейлора. Например, при m = 1, р = 0, n = 2m + 1,