Большая Советская Энциклопедия (ФО)

Большая Советская Энциклопедия

и схема аксиом индукции:

А (0) & "x (А (х ) ® А (x ')) ® "xa (x ).

Средства Ф. а. достаточны для вывода теорем элементарной теории чисел. В настоящее время, по-видимому, неизвестно ни одной содержательной теоретико-числовой теоремы, доказанной без привлечения средств анализа, которая не была бы выводима в Ф. а. В Ф. а. изобразимы рекурсивные функции и доказуемы их определяющие равенства. Это позволяет, в частности, формулировать суждения о конечных множествах.

Более того, Ф. а. эквивалентна аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы бесконечности: в каждой из этих систем может быть построена модель другой.

Ф. а. удовлетворяет условиям обеих теорем Гёделя о неполноте. В частности, имеются такие полиномы Р , Q от 9 переменных, что формула "x₁... "x₉ (P &sup1; Q ) невыводима, хотя и выражает истинное суждение, а именно непротиворечивость Ф. а. Поэтому неразрешимость диофантова уравнения Р - Q = 0 недоказуема в Ф. а. Непротиворечивость Ф. а. доказана с помощью трасфинитной индукции до ординала e _{(наименьшее решение уравнения w^e = e). Поэтому схема индукции до e недоказуема в Ф. а., хотя там доказуема схема индукции до любого ординала a < e . Класс доказуемо рекурсивных функций Ф. а. (т. е. частично рекурсивных функций, общерекурсивность которых может быть установлена средствами Ф. а.) совпадает с классом ординально рекурсивных функций с ординалами < e .}

Не все теоретико-числовые предикаты выразимы в Ф. а.: примером является такой предикат T, что для любой замкнутой арифметической формулы А имеет место Т ('eА `u) « А, где 'eА `u – номер формулы А в некоторой фиксированной нумерации, удовлетворяющей естественным условиям. Присоединение к Ф. а. символа Т с аксиомами типа

Т ('eА & B `u) « Т ('eА `u) & Т ('eB `u),

выражающими его перестановочность с логическими связками, позволяет доказать непротиворечивость Ф. а. Похожая конструкция (но уже внутри Ф. а.) доказывает, что схему индукции нельзя заменить никаким конечным множеством аксиом. Ф. а. корректна и полна относительно формул вида $x₁ ... $x_k (P = Q ); замкнутая формула из этого класса доказуема тогда и только тогда, когда она истинна. Так как этот класс содержит алгоритмически неразрешимый предикат, отсюда следует, что проблема выводимости в Ф. а. алгоритмически неразрешима.

При задании Ф. а. в виде генценовской системы осуществима нормализация выводов, причём нормальный вывод числового равенства состоит только из числовых равенств. На этом пути было получено первое доказательство непротиворечивости Ф. а. Нормальный вывод формулы с кванторами может содержать сколь угодно сложные формулы. Полная подформульность достигается после замены схемы индукции на со-правило, позволяющее вывести В ® "xA (x ) из В ® A (0), B ® A (1),... Понятие w-вывода (т. е. вывода с w-правилом) высоты < e _{выразимо в Ф. а., поэтому переход к w-выводам позволяет устанавливать в}

Ф. а. многие метаматематические теоремы, в частности полноту относительно формул вида $x₁ ... $x_k (P = Q ) и ординальную характеристику доказуемо рекурсивных функций.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, 2 Aufl., Bd 1–2, В., 1968–70.

Г. Е. Минц.

Формальная грамматика

Форма'льная грамма'тика, в языкознании, одно из средств строгого описания естественных языков; один из разделов математической лингвистики (см. Грамматика формальная ).

Формальная логика

Форма'льная ло'гика, наука о мышлении, предметом которой является исследование умозаключений и доказательств с точки зрения их формы и в отвлечении от их конкретного содержания. Ф. л. – базисная наука; её идеи и методы используются как в повседневной практике, например в качестве средства предотвращения логических ошибок, так и в особенности в теории для логического анализа научного знания. См. Логика .

Формальная система

Форма'льная систе'ма, неинтерпретированное исчисление , класс выражений (формул) которого задаётся обычно индуктивно – посредством задания исходных («элементарных», или «атомарных») формул и правил образования (построения) формул, а подкласс доказуемых формул (теорем) – посредством задания системы аксиом и правил вывода (преобразования) теорем из аксиом и уже доказанных теорем. Термин «Ф. с.» имеет многочисленные синонимы (иногда, впрочем, этими терминами обозначают родственные, но не совпадающие понятия): формальная теория, формальная математика, формализм, формальное исчисление, абстрактное исчисление, синтаксическая система, аксиоматическая система, логистическая система, формализованный язык , формальная логика , кодификат, дедуктивная система и др.

Формальный аксиоматический метод

Форма'льный аксиомати'ческий ме'тод, см. Аксиоматический метод .

«Формальный метод»

«Форма'льный ме'тод» в литературоведении, теоретическая концепция, утверждающая взгляд на художественную форму как категорию, определяющую специфику литературы и способную к саморазвитию. «Ф. м.» в определённой мере подготовлен неокантианством . Как особое направление сложился на рубеже 19–20 вв. первоначально как реакция на импрессионистическую критику и позитивистски окрашенные направления в литературоведении и искусствознании (например, культурно-историческая школа в литературоведении), позднее – как теоретически обосновываемая методика, устремленная к изучению внутренних (структурных) закономерностей художественного произведения.

На Западе в 1910-е гг. «Ф. м.» ярче всего проявил себя в теории изобразительного искусства (Г. Вёльфлин ) и при сравнительном изучении различных искусств (О. Вальцель – Германия), что имело положительным результатом наблюдения в области описательной (формальной) типологии. В литературоведении «Ф. м.» был представлен изучением «морфологии романа» (В. Дибелиус – Германия), «языковой стилистики» (Л. Шпитцер ) и др. Методические принципы ряда разновидностей «Ф. м.» на Западе сводились к «пристальному чтению» произведений при игнорировании всех «внелитературных» компонентов. Итоги его развития в 1920-е гг. – утверждение статистической описательной методики, отказ от генетических и эволюционных планов изучения литературы.