Большая Советская Энциклопедия (КР)

Большая Советская Энциклопедия

где l₁,..., l_n — произвольные действительные параметры, а k и k₁ — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.

При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были

подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия

С (x) lb 0, x ^I G,

задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).

Когда D представляет собой оператор Лапласа

, решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале —1 < х < 1 это решение имеет вид

u (х) =

,

где f₁= u (—1), f₂ = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1

,

,

где |х—у| — расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) — 5).

В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.

Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма

в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.

Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a₁..., a_n) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.

Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности

,

являющееся типичным представителем уравнений параболического

типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x₁= , x₁ = 1, x₂ = , x₂ = 1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (0, x₂) = f (x₂), 0 lb x₂ lb 1

u (x₁,0) = j(x₁), 0 lb x₁ lb 1

u (1, x₂) = y(x₂), 0 lb x₂ lb 1

f (0) = j(0), y(0) = j(1)

при произвольных достаточно гладких данных f, j. y. Следовательно, краевое условие u (x₁,1) = q(x₁), lb x₁ lb 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x₁ + x₂ = 0, x₁– x₂ = 0, x₁ + x₂ = 1, x₁– x₂ = —1, имеет единственное решение u (x₁, x₂), удовлетворяющее краевым условиям:

u (x₁, x₁) = f (x₁), lb x₁lb ¹/₂

u (x₁,-x₁) = j(x₁), —¹/₂ lb x₁lb

f (0) = j(0)

при произвольных достаточно гладких данных f и j. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x₁,1+x₁), —¹/₂ lb x₁ lb 0, и u (х₁, 1-x₁), 0 lb x₁lb ¹/₂, не могут быть заданы произвольно.