Большая Советская Энциклопедия (КВ)

Большая Советская Энциклопедия

подчиняющимся Бозе — Эйнштейна статистике.

В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния Y_N; квадрат модуля Y_N, |Y_N|², определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а^– и оператор рождения частицы а⁺. По определению, а^–

переводит состояние с N частицами в состояние с N—1 частицей, т. е.

(3)

Аналогично, оператор порождения частицы а⁺ переводит состояние Y_N в состояние с N + 1 частицей:

, (4)

[множители

 в (3) и

 в (4) вводятся именно для выполнения условия нормировки: |Y_N|²= 1]. В частности, при N = 0 а⁺Y _{= Y1} , где Y _— вектор состояния, характеризующий вакуум; т. е. одночастичное состояние получается в результате порождения из «вакуума» одной частицы. Однако а^–Y _{= 0}, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в котором частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние Y имеет в К. т. п. особое значение, т.к. из него при помощи операторов а⁺ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)

,

, (5)

……………………………………

Легко показать, что порядок действия операторов а^– и а⁺ не безразличен. Действительно, а^–(а⁺Y_{) = а^–Y1 = Y, в то время как а⁺(а^–Y) = 0 . Т. о., (a^–a⁺ — a⁺a^–)Y = Y, или}

a^–a⁺—a⁺a^– = 1, (6)

т. е. операторы а⁺ и а^–являются непереставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке называется перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями для этих операторов, а выражения вида

 — коммутаторами операторов

 и

.

Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физические величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом n: так, а⁺_n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел n. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным n, называются числами заполнения этих состояний.

Рассмотрим выражение a^–_n а⁺_mY. Сначала на Y действует «ближайший» к нему оператор а⁺_m; это отвечает порождению частицы в состоянии m. Если n = m, то последующее действие оператора а^–_n приводит опять к Y, т. е. а^–_n а⁺_nY₀ = Y. Если n ¹ m, то а^–_nа⁺_mY₀ = 0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а^–_n описывает уничтожение частиц в таких состояниях n, каких не возникает при действии a⁺_n на Y ). С учетом различных состоянии частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид:

а^–_nа^–_m —а^–_m а^–_n = 0,

а⁺_nа⁺_m—а⁺_m а⁺_n = 0 (7)

Однако существуют поля, для которых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это называется заменой коммутаторов на антикоммутаторы),

(8)

а^–_nа^–_m —а^–_m а^–_n = 0, а⁺_nа⁺_m—а⁺_m а⁺_n = 0