Большая Советская Энциклопедия (МА)

Большая Советская Энциклопедия

 или

.

Короче:

,

. Наряду с конечными М. рассматриваются М. с бесконечным числом строк или столбцов.

М., состоящая из одной строки, называется строкой, из одного столбца — столбцом. Если m = n , то М. называется квадратной, а число n —

её порядком. Квадратная М., у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы a_i = a_ii называется диагональной и обозначается diag(a₁ , ..., a_n ). Если все a_i = a, получают скалярную М. При a = 1 М. называется единичной и обозначается Е . М., все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Переставив в М. строки со столбцами, получают транспонированную М. A’ , или A^T . Если элементы М. заменяют на комплексно-сопряжённые, получают комплексно-сопряжённую М. А. Если элементы транспонированной М. A’ заменяют на комплексно-сопряжённые, то получают М. А *, называется сопряжённой с А . Определитель квадратной М. А обозначается ½A ½ или det A . Минором k– го порядка М. А называется определитель k– го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении некоторых k строк и k столбцов М. A в их естественном расположении. Рангом М. А называется максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы.

Действия над матрицами. Произведением прямоугольной (m ' n )-матрицы А на число ее называют М., элементы которой получены из элементов a_ij умножением на число a:

Сумма определяется для прямоугольных М. одинакового строения, и элементы суммы равны суммам соответствующих слагаемых, то есть

Умножение М. определяется только для прямоугольных М. таких, что число столбцов первого множителя равно числу строк второго. Произведением (m ' р )-матрицы А на (р ' n )-матрицу В будет (m ' n )-матрица С с элементами

c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + ... + a_ip b_pj ,

i = 1, ..., m , j = 1, ..., n .

Введённые три действия над М. обладают свойствами, близкими к свойствам действий над числами. Исключением является отсутствие коммутативного закона при умножении М.: равенство AB = BA может не выполняться. Матрицы А и В называются перестановочными, если AB = BA . Кроме того, произведение двух М. может равняться нулевой М., хотя каждый сомножитель отличен от нулевой. Справедливы правила:

Определитель произведения двух квадратных М. равен произведению определителей перемножаемых М.

Часто удобно разбивать М. на клетки, являющиеся М. меньших размеров, проводя разделительные линии через всю М. слева направо или сверху вниз. При умножении такой так называемой клеточной М. на число, нужно умножить все её клетки на то же число. При надлежащем согласовании разбиений действия сложения и умножения клеточных М. осуществляются так, как будто вместо клеток стоят числа.

Квадратная М. А = (a_ij ) называется неособенной, или невырожденной, если её определитель не равен нулю; в противном случае М. называется особенной (вырожденной). М. А^{– 1} называется обратной к квадратной М. А , если AA^{– 1} = E , при этом

. Неособенность М. А есть необходимое и достаточное условие существования обратной М., которая при этом оказывается единственной и перестановочной с исходной М. Верна формула: (AB )^{– 1} = B^{– 1}A^{– 1} .

Большой интерес приобретает обобщённая обратная (или псевдообратная) М. А⁺ , определяемая как для любой прямоугольной М., так и для особенной квадратной. Эта М. определяется из четырёх равенств:

AA⁺A = A , А⁺АА⁺ = А , AA⁺ = (AA⁺ )*, А⁺А = (А⁺А )*.

Квадратные матрицы. Степенью Aⁿ М. А называется произведение n сомножителей, равных А . Выражение вида a_{Аⁿ + a1A^n-1 + ... + anE , где a , a1 , ..., an — числа, называется значением полинома atⁿ + ait^n-1 + ... + anE от квадратной М. А . Правила действий над полиномами от данной М. А ничем не отличаются от правил действий над алгебраическими многочленами. Можно рассматривать и аналитические функции от М. В частности, если}

есть сходящийся на всей комплексной плоскости ряд (например,

), то и бесконечный ряд

 оказывается сходящимся при любой М. А , его сумму естественно считать равной f(A) . Если же ряд f(t) сходится в некотором конечном круге сходимости, то f(A) задаётся этим рядом для достаточно «малых» М.