Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности
Шрифт:
Таким образом, мы подошли к вопросу: если путеводные нити, описанные в последних двух секциях, ориентируют нас в правильном направлении, и привычное пространство-время является только крупномасштабным проявлением некоторой фундаментальной сущности, то что это за сущность и каковы ее существенные свойства? На сегодняшний день никто не знает. Но в поисках ответа исследователи нашли некоторые дальнейшие путеводные нити, и наиболее важная среди них приходит из размышлений о черных дырах.
Откуда энтропия у черных дыр?
Черные дыры имеют самое непроницаемое бесстрастное лицо во вселенной. Снаружи они выглядят поистине настолько просто, насколько вы можете осознать. Тремя отличительными свойствами черной дыры являются ее масса (которая определяет, насколько она велика, – расстояние от ее центра до ее горизонта событий, окружающей ее поверхности невозвращения), ее электрический заряд и насколько быстро она вращается. Это все. Больше нет деталей, которые могут быть собраны из тщательного исследования внешнего вида, который черная дыра представляет космосу. Физики характеризуют это через высказывание: "Черная дыра не
Тем не менее, за их холодным спокойствием черные дыры скрывают величайшие резервуары хаоса, которые когда-либо знала вселенная. Среди всех физических систем заданного размера с любым возможным составом черные дыры содержат максимально возможную энтропию. Вспомним из Главы 6, что один грубый путь раздумий об этом следует непосредственно из определения энтропии как меры числа перестановок внутренних составляющих объекта, которые не влияют на его внешний облик. Если применить это к черным дырам, то даже если мы не можем сказать, что на самом деле представляют собой их составляющие, – поскольку мы не знаем, что происходит, когда материя проваливается в центр черной дыры, – мы можем сказать с уверенностью, что перестановки этих составляющих будут влиять на массу, заряд или вращение черной дыры не больше, чем перестановки страниц Войны и Мира будут влиять на вес книги. А поскольку масса, заряд и вращение полностью определяют лицо, которое черная дыра показывает внешнему миру, все такие манипуляции пройдут незамеченными, и мы можем сказать, что черная дыра имеет максимальную энтропию.
Более того, при этих условиях вы можете представить превышение энтропии черной дыры над всеми остальными объектами следующим простым образом. Постройте полую сферу того же размера, как и данная черная дыра и заполните ее газом (водород, гелий, углекислый газ, что угодно), которому вы позволите распространиться по внутренности сферы. Чем больше газа вы накачаете, тем больше будет энтропия, поскольку большее число составляющих означает большее количество возможных перестановок. Вы можете тогда предположить, что если вы продолжаете качать и качать, энтропия газа будет неизменно возрастать и в конечном счете превысит энтропию данной черной дыры. Это хитрая стратегия, но ОТО показывает, что она проваливается. Чем больше газа вы накачали, тем более массивным становится содержимое сферы. И перед тем, как вы достигнете энтропии черной дыры равного размера, нарастающая масса внутри сферы достигнет критической величины, которая заставит сферу и ее содержимое стать черной дырой. Нет никакого пути обойти это. Черная дыра имеет монополию на максимальный беспорядок.
Что если вы попытаетесь еще больше повысить энтропию в пространстве внутри самой черной дыры, постоянно закачивая все больше газа? Энтропия на самом деле продолжит возрастать, но вы измените правила игры. По мере втягивания материи через ненасытный горизонт событий черной дыры, не только возрастает энтропия черной дыры, но также и увеличивается ее размер. Размер черной дыры пропорционален ее массе, так что когда вы свалите больше материи в дыру, она станет тяжелее и больше. Таким образом, раз уж вы максимизировали энтропию в области пространства путем создания черной дыры, любые попытки дальше повысить энтропию в этой области будут неудачными. Область просто не может содержать больше беспорядка. Она насытилась энтропией. Чтобы вы ни делали, закачиваете ли вы газ или бросаете внутрь Хаммер, вы обязательно заставите черную дыру расти, и потому занимать больший пространственный регион. Таким образом, количество энтропии, содержащееся в черной дыре, не только говорит нам о фундаментальном свойстве черной дыры, но также говорит нам о чем-то фундаментальном про само пространство: максимальная энтропия, которая может быть втиснута в область пространства, – любую область пространства, везде и всегда, – равна энтропии, содержащейся в черной дыре, чей размер равен рассматриваемой области.
Итак, как много энтропии содержит черная дыра заданного размера? В этом месте вещи становятся интересными. Рассуждая интуитивно, начнем с чего-то, что более легко визуализировать, вроде воздуха в пластиковом контейнере. Если вы объедините два таких контейнера, удвоится общий объем и число молекул воздуха, так что вы можете предположить, что вы удвоили энтропию. Детальные расчеты подтверждают [1] это заключение и показывают, что при прочих равных (при неизменной температуре, плотности и так далее) энтропия привычной физической системы пропорциональна ее объему. Естественное следующее предположение заключается в том, что такое же заключение будет также применимо к менее привычным вещам вроде черных дыр, приводя нас к ожиданию, что энтропия черной дыры также пропорциональна ее объему.
1. Для склонного к математике читателя вспомним из комментария 6 к Главе 6, что энтропия определяется как логарифм числа перестановок (или состояний), и это важно, чтобы получить правильный ответ в этом примере. Когда вы объединяете два пластиковых контейнера вместе, различные состояния молекул воздуха могут быть описаны при заданном состоянии молекул воздуха в первом контейнере, а затем при заданном состоянии молекул воздуха во втором. Таким образом, перестановки в объединенных контейнерах есть квадрат числа перестановок в каждом в отдельности. После взятия логарифма это говорит нам, что энтропия удваивается.
Но в 1970х Джэкоб Бекенштейн и Стивен Хокинг открыли, что это не верно. Их математический
2. Вы заметите, что на самом деле мало смысла сравнивать объем с площадью, поскольку они имеют разные единицы. Что я на самом деле имел в виду здесь, как обозначено текстом, так это то, что темп, с которым объем растет с радиусом намного больше, чем темп, с которым растет площадь. Таким образом, поскольку энтропия пропорциональна площади поверхности, а не объему, она растет более медленно с увеличением размера региона, чем это было бы, будь она пропорциональна объему.
То, что энтропия пропорциональна площади поверхности, является не просто любопытным отличием между черными дырами и пластиковым контейнером, на которое мы можем обратить внимание и быстро идти дальше. Мы видели, что черные дыры устанавливают предел количеству энтропии, которая, даже в принципе, может быть втиснута в область пространства: возьмем черную дыру, чей размер точно равен размеру рассматриваемой области, вычислим, сколько энтропии имеет черная дыра, и это будет абсолютным пределом количества энтропии, которое область пространства может содержать. Поскольку эта энтропия, как показала работа Бекенштейна и Хокинга, пропорциональна площади поверхности черной дыры, – которая равна площади поверхности области, поскольку мы выбрали их имеющими одинаковый размер, – мы заключаем, что максимальная энтропия, которую может содержать любая заданная область пространства, пропорциональна площади поверхности области. [3]
3. Хотя это ухватывает дух ограничения энтропии, подготовленный читатель распознает, что я упрощаю. Более точное ограничение, как предложено Рафаэлем Боуссо, состоит в том, что течение энтропии через нулевую гиперповерхность (с везде неположительным фокальным параметром) ограничено числом А/4, где А есть площадь пространственноподобного сечения нулевой гиперповерхности ("тонкого листа").
Противоречие между этим заключением и тем, что мы нашли из размышлений о воздухе, заключенном в пластиковом контейнере (когда мы нашли, что количество энтропии пропорционально объему контейнера, а не площади его поверхности), легко ликвидировать: поскольку мы предполагали, что воздух в контейнере распределен равномерно, рассуждения о контейнере игнорируют гравитацию; вспомним, когда действует гравитация, вещи слипаются. Пренебрежение гравитацией оправдано, когда малы плотности, но когда вы рассматриваете большую энтропию, плотности велики, гравитация действует, и рассуждения о пластиковых контейнерах больше не применимы. Вместо этого, такие экстремальные условия требуют основанных на гравитации расчетов Бекенштейна и Хокинга с заключением, что максимальный энтропийный потенциал области пространства пропорционален ее площади, а не ее объему.
Ну ладно, но почему мы должны беспокоиться? Имеются две причины.
Первая, ограничение энтропии дает еще одну подсказку, что ультрамикроскопическое пространство имеет атомистическую структуру. Подробно, Бекенштейн и Хокинг нашли, что если вы представите нарисованный на горизонте событий образец шахматной доски с каждым квадратом, равным длине Планка на длину Планка (так что такой "планковский квадрат" имеет площадь около 10–66 квадратного сантиметра), тогда энтропия черной дыры равна числу таких квадратов, которые можно расположить на ее поверхности. [4] Тяжело не заметить заключение, на которое сильно намекает этот результат: каждый планковский квадрат есть минимальная, фундаментальная единица пространства, и каждый несет минимальную, отдельную единицу энтропии. Это наводит на мысль, что нет ничего, даже в принципе, что могло бы иметь место внутри планковского квадрата, поскольку любая такая активность поддерживает беспорядок, а потому планковский квадрат мог бы иметь больше, чем одну единицу энтропии, найденную Бекенштейном и Хокингом. Итак, еще раз, с совершенно другой точки зрения мы пришли к понятию простейшей пространственной сущности. [5]
4. Более точно энтропия черной дыры есть площадь ее горизонта событий, выраженная в планковских единицах, деленная на 4 и умноженная на константу Больцмана.
5. Склонный к математике читатель может вспомнить из комментариев к Главе 8, что имеется другое определение горизонта – космического горизонта – который есть разделяющая поверхность между теми вещами, с которыми наблюдатель может или не может находиться в причинном контакте. Такие горизонты, есть уверенность, поддерживают энтропию, также пропорциональную их площади поверхности.