Брайан Грин. Ткань космоса: Пространство, время и структура реальности
Шрифт:
Понятие энтропии впервые было разработано во время промышленной революции учеными, интересовавшимися работой печей и паровых двигателей, что помогло разработать область термодинамики. После многих лет исследований основные идеи были резко пересмотрены, получив высшее воплощение в подходе Больцмана. Его версия энтропии, лаконично выраженная в уравнении на его надгробии, использует статистические обоснования для обеспечения связи между гигантским числом индивидуальных частей, составляющих физическую систему, и общими свойствами, которые система имеет. [4]
4. Чтобы удержать суть современного способа размышлений об этих идеях, я пропустил некоторую очень интересную историю. Собственные раздумья Больцмана по поводу энтропии проходили через существенные усовершенствования в течение 1870х и 1880х, во время которых полезными были взаимодействия и обмены информацией с такими физиками, как Джеймс Клерк Максвелл, лорд Кельвин, Джозеф Лошмидт, Джозайя Уиллард Гиббс, Анри Пуанкаре, С.Х. Бербери и Эрнест Цермело. Фактически, Больцман сначала думал, что он сможет доказать, что энтропия всегда и абсолютно будет не уменьшаться для изолированной физической системы, а не что просто очень маловероятно получить такое
Чтобы почувствовать эти идеи, представим себе копию Войны и мира, разделенную на 693 двусторонних отдельных листа, которые подброшены высоко в воздух, а затем их свободное скопление собрано в аккуратную стопку. [5] Когда вы проверите итоговый пакет страниц, в гигантской степени более вероятно, что страницы расположатся не по порядку, чем по порядку. Причина очевидна. Имеется много вариантов, в которых порядок страниц может быть перепутан, но только один вариант, при котором порядок правильный. Конечно, надлежащим образом страницы должны быть расположены в точности как 1,2; 3,4; 5,6; и так далее вплоть до 1385,1386. Любое другое расположение будет не по порядку. Простое, но существенное наблюдение заключается в том, что чем большим числом способов, которые все равноправны, нечто может произойти, тем более вероятно, что оно произойдет. А если нечто может произойти огромным числом способов, вроде страниц, приземлившихся в неправильном числовом порядке, в огромной степени более вероятно, что оно произойдет. Мы все интуитивно это знаем. Если вы покупаете лотерейный билет, имеется только один случай, в котором вы можете выиграть. Если вы купите миллион билетов, каждый со своим номером, то будет миллион случаев, в которых вы можете выиграть, так что ваши шансы разом разбогатеть будут в миллион раз выше.
5. Я представляю, что все мы используем издание Войны и Мира из Библиотеки Современной Классики (Modern Library Classics) в переводе на английский Констанции Гарнетт, содержащем 1 386 страниц текста.
Энтропия представляет собой понятие, которое делает эту идею точной путем подсчета количества способов, согласующихся с законами физики, в которых любая данная физическая ситуация может быть реализована. Высокая энтропия означает, что имеется много способов; низкая энтропия означает, что имеется несколько способов. Если страницы Войны и мира скомпоновались в правильном числовом порядке, это низкоэнтропийная конфигурация, поскольку имеется одно и только одно расположение, удовлетворяющее этому критерию. Если страницы находятся не в числовом порядке, это высокоэнтропийная ситуация, поскольку небольшой расчет показывает, что имеется огромное число, для записи которого потребовалось бы более 30 строк настоящего текста, – примерно 101878 – различных неупорядоченных расположений. [6] Если вы подбросили страницы в воздух, а затем собрали их в аккуратную стопку, всегда ясно, что они будут взбиты ветром беспорядочно, поскольку такие конфигурации имеют чудовищно более высокую энтропию – имеется намного больше способов получить неупорядоченный результат, – чем исключительное расположение, в котором страницы находятся в правильном числовом порядке.
6. Склонный к математике читатель должен заметить, что поскольку числа могут стать столь велики, энтропия на самом деле определяется как логарифм числа возможных перестановок, деталь, которая нас тут не касается. Однако, как принципиальный момент, это важно, поскольку очень удобно для энтропии быть так называемой экстенсивной величиной, что означает, что если вы объедините две системы вместе, энтропия их союза есть сумма их индивидуальных энтропий. Это остается правильным только для логарифмической формы энтропии, так как число перестановок в такой ситуации задается произведением индивидуальных перестановок, так что логарифм числа перестановок является аддитивным.
В принципе, вы можете использовать законы классической физики, чтобы точно определить, где приземлится каждая страница после того, как целая пачка была подброшена в воздух. Так же, опять в принципе, мы можем точно предсказать итоговое расположение страниц [7] и отсюда (в отличие от квантовой механики, которую мы игнорируем до следующей главы) будет казаться, что нет необходимости полагаться на вероятностные понятия, такие как какой результат является более или менее вероятным по сравнению с другим. Но статистические понятия являются как действенными, так и удобными. Если Война и мир была бы брошюрой, состоящей только из пары страниц, мы точно могли бы быть в состоянии успешно завершить необходимые вычисления, но это будет невозможно сделать для настоящей Войны и Мира. [8] Следование за точным движением 693 гибких кусков бумаги, пока они подхватываются тихими воздушными потоками и соприкасаются, скользят и хлопают друг о друга, будет монументальной задачей, далеко лежащей за пределами возможностей даже самых мощных суперкомпьютеров.
7. Поскольку мы можем, в принципе, предсказать, где приземлится каждая страница, вы можете озаботиться, что имеется дополнительный элемент, который определяет расположение страниц: как вы соберете страницы вместе в аккуратную пачку. Это не имеет отношения к обсуждаемой физике, но в случае, если вас это беспокоит, представьте, что вы согласились, что вы будете подбирать страницы одну за одной, начиная с той, которая к вам ближе всего, затем подберете ближайшую за этой страницу и так далее. (И, например, вы можете согласиться измерять расстояния от ближайшего угла страницы, о которой идет речь).
8. Надежда преуспеть в расчете движения даже нескольких страниц с точностью, требуемой для предсказания их (страниц) упорядочения (после применения некоторого алгоритма складывания их в кучу, такого как в предыдущем комментарии), на самом деле экстремально оптимистична. В зависимости
Более того – и это является критически важным – получить точный ответ нельзя будет, даже если бы мы были способны. Когда вы исследуете окончательную стопку страниц, вы гораздо меньше интересуетесь точными деталями, какая страница где оказалась, чем главным вопросом, расположились ли страницы в правильном порядке. Если расположились, прекрасно. Вы сможете сесть и продолжить чтение про Анну Павловну и Николая Ильича Ростовых, как обычно. Но если вы обнаружили, что страницы не находятся в их правильном порядке, точные детали расположения страниц будут чем-то, что вас, вероятно, меньше всего будет заботить. Если вы увидели одно неупорядоченное расположение страниц, вы в большой степени видели их все. За исключением случаев, когда по некоторым странным причинам вы погрязли в мелочах, выясняя, каким страницам пришлось появиться здесь или там в стопке, вы едва ли заметите, если некоторое перемешанное впоследствии в неправильном порядке расположение страниц вы изначально задали. Начальная стопка будет выглядеть неупорядоченной и перемешанная впоследствии стопка будет также выглядеть неупорядоченной. Так что не только значительно легче провести статистическое обсуждение, но и ответ, который оно дает – упорядоченное против неупорядоченного, – более важен для нашего настоящего интереса, для вида вещей, на которые мы обычно обращаем внимание.
Этот сорт укрупненного подхода является центральным для статистической основы энтропийных рассуждений. Точно так же, как любой лотерейный билет имеет те же шансы на выигрыш, как и любой другой, после многих подбрасываний Войны и мира любое особое расположение страниц возникнет с точно той же вероятностью, что и любое другое. Что делает проведение статистических рассуждений эквивалентным нашему утверждению, что имеется два представляющих интерес класса конфигураций страниц: упорядоченные и неупорядоченные. Первый класс имеет одного члена (правильное расположение страниц 1,2; 3,4; и так далее), тогда как второй класс имеет гигантское число членов (любое другое возможное расположение страниц). Эти два класса представляют разумный набор для использования, поскольку, как сказано выше, они охватывают всеобъемлющую макроскопическую оценку, которую вы делаете, рассматривая любое данное расположение страниц.
Даже при этих условиях вы можете предложить сделать более тонкое различие между этими двумя классами, такое как расположения с несколькими выпадающими из правильного порядка страницами, расположения с неупорядоченными страницами только из первой главы и так далее. Фактически, иногда может быть полезным рассмотреть такие промежуточные классы. Однако, число возможных расположений страниц в каждом из этих новых подклассов все еще экстремально мало по сравнению с числом расположений в полном неупорядоченном классе. Например, полное число неупорядоченных расположений, включающих только страницы из первой части Войны и мира, составляет 10–178 от сотой доли полного числа неупорядоченных расположений, включающих все страницы. Так что, хотя при начальном подбрасывании не сшитой книги итоговое расположение страниц будет, вероятнее всего, частью одного из промежуточных, не полностью разупорядоченных классов, почти ясно, что если вы повторите процедуру подбрасывания много раз, порядок страниц в конечном счете будет проявлять не очевидный пример всего, чего угодно. Расположение страниц развивается в направлении к полностью неупорядоченному классу, поскольку имеется так много расположений страниц, которые удовлетворяют данному требованию.
Пример Войны и мира подчеркивает две существенные особенности энтропии. Первая, энтропия есть мера количества беспорядка в физической системе. Высокая энтропия означает, что много перестановок составляющих частей, мыслимых для системы, пройдут незамеченными, и это, с другой стороны, означает, что система сильно неупорядочена (когда страницы Войны и мира все перемешаны, любое дальнейшее их перепутывание будет едва ли заметно, поскольку просто оставляет страницы в перемешанном состоянии). Низкая энтропия означает, что только несколько перестановок пройдут незамеченными, и это, с другой стороны, означает, что система сильно упорядочена (когда страницы Войны и мира начинаются с их правильного расположения, вы легко можете отследить едва ли не любую перестановку). Вторая, в физических системах с многими составляющими частями (например, в книгах со многими страницами, подбрасываемых в воздух) имеется естественная эволюция по направлению к большему беспорядку, поскольку беспорядок может возникнуть в настолько большем количестве путей, чем порядок. На языке энтропии это указание на то, что физические системы имеют тенденцию развиваться по направлению к состояниям с более высокой энтропией.
Конечно, делая энтропию точной и универсальной, физическое определение не рассматривает подсчет числа перестановок страниц той или иной книги, которые оставляют ее выглядящей по-прежнему, или упорядоченной или неупорядоченной. Вместо этого физическое определение подсчитывает число перестановок фундаментальных составляющих – атомов, субатомных частиц и так далее – которое оставляет макроскопические, всеобъемлющие, крупномасштабные свойства данной физической системы неизменными. Как и в примере Войны и мира, низкая энтропия означает, что только несколько перестановок пройдут незамеченными, так что система высоко упорядочена, тогда как высокая энтропия означает, что много перестановок не будут замечены, что означает, что система сильно неупорядочена.*
Для хорошего физического примера, причем такого, который можно быстро проверить руками, подумаем о бутылке колы, упоминавшейся ранее. Когда газ, подобный углекислому газу, изначально заключенному в бутылке, в конечном счете распространяется по комнате, имеется много перестановок отдельных молекул, которые не будут иметь заметного эффекта. Например, если вы машете своими руками, молекулы углекислого газа будут двигаться туда и обратно, быстро изменяя свои положения и скорости. Но в целом не будет никакого качественного влияния на их расположение в целом. Молекулы были распределены однородно до того, как вы взмахнули руками, и они останутся распределенными однородно после того, как вы это сделали. Конфигурация однородно распределенного газа нечувствительна к гигантскому числу перестановок молекулярных составляющих, так что находится в состоянии с высокой энтропией. Напротив, если газ распределен в меньшем пространстве, как это было в бутылке, или удерживается барьером в углу комнаты, он будет иметь существенно более низкую энтропию. Причина проста. Точно так же, как более тонкая книга имеет меньше расположений страниц, меньшее пространство обеспечивает меньше мест, где молекулы могут размещаться, а следовательно, допускает меньше перестановок молекул.