Числа - основа гармонии. Музыка и математика
Шрифт:
Обращенным интервалом чистой кварты (из пяти полутонов) является чистая квинта (из семи полутонов): соль-до (чистая кварта) и до-соль (чистая квинта). Дополнительным к углу называется такой угол , который в сумме с ним дает 90°.
Два
В следующей таблице приведены обращенные интервалы для всех основных интервалов:
Когда музыкальный инструмент издает звук, он имеет конкретную частоту F, но человеческое ухо воспринимает этот звук не как чистый тон, а как сумму бесконечного числа составляющих. Струна колеблется из стороны в сторону не упорядоченно, а хаотически. Звук, издаваемый струной, или любая другая нота, которую слышит наше ухо, складывается из основного тона и других призвуков — звуков меньшей интенсивности, которые называются обертонами. Нота, которую мы слышим, — это составной звук, но основной тон и все обертоны являются чистыми звуками. Из множества обертонов, составляющих звук, человеческое ухо улавливает всего 16.
На схеме изображена струна, частоты колебаний которой соответствуют первым обертонам.
Если на музыкальном инструменте исполняется нота до, то ряд из шестнадцати обертонов, воспринимаемых человеческим ухом, для этого звука будет выглядеть следующим образом:
В таблице приведены частоты различных обертонов. Например, 5-й обертон соответствует звуку, частота которого в пять раз больше частоты основного тона в 33 Гц: 33·5 = 165 Гц.
В музыкальной нотации 16 обертонам соответствуют следующие ноты:
Звуки, воспроизводимые одновременно, могут восприниматься как благозвучные (в этом случае имеет место консонанс) или неблагозвучные, напряженные (мы называем их диссонирующими). В главе 1 мы рассказали о том, что пифагорейцы считали причиной благозвучия или неблагозвучия особое соотношение длин струн, издававших эти звуки. Иными словами, для пифагорейцев согласованность звуков определялась соотношением их частот. Пифагорейцы считали октаву (она разделяет два звука, исполняемые на струнах, соотношение длин которых 1:2), квинту (соотношение длин струн для нее 2:3) и кварту (3:4) благозвучными. Другие интервалы, производные от трех основных, оказывались диссонирующими, так как соотношения частот для соответствующих звуков выражались сложными числами. На следующих иллюстрациях указаны основные интервалы и соотношения частот звуков, соответствующих границам этих интервалов:
Среди
Рассуждения о сути ритма (см. главу 2) позволили нам выделить различные свойства, описывающие чередование нот и пауз. Это дало возможность точнее записывать музыкальные произведения.
В физике время часто отображается на горизонтальной оси координат. Например, при построении графика положения тела при свободном падении высота обычно отображается на вертикальной оси (Y), время — на горизонтальной (X). Полученный график положения тела будет выглядеть так:
График движения тела при свободном падении.
Аналогичным образом время представляется и в музыке:
Нотная запись читается слева направо подобно тому, как читаются тексты, написанные на западных языках. Музыкальные ритмы изображаются в виде последовательности нот на горизонтальной оси.
Чтобы понять систему нотной записи, необходимо определить характеристики звуков, которые мы будем изображать.
Во-первых, следует рассмотреть наличие и отсутствие звука. В нотной записи должен отражаться как сам звук, так и паузы между звуками.
Во-вторых, звуки образуются в результате некоего движения, они имеют начало и конец.
Ноты и паузы — это символы, обозначающие наличие и отсутствие звука соответственно. Они же обозначают длительность звуков относительно других звуков и пауз.
Ноты
Длительность звуков обозначается с помощью нот. Ноты состоят из следующих элементов:
— головка: небольшой овал черного или белого цвета;
— штиль: вертикальная часть ноты, соединяющая головку и флажок (если он есть);
— флажок: небольшая изогнутая линия, расположенная на противоположном от головки конце штиля.
Относительная длительность нот
Относительная длительность звуков и пауз сохраняется вне зависимости от того, с какой скоростью исполняется произведение. Скорость исполнения и, как следствие, реальная длительность нот во времени определяется темпом метронома — механического прибора, с помощью которого можно задать любую постоянную скорость исполнения.
Как мы уже говорили ранее, относительная длительность нот определяется цветом головки (черная или белая), а также присутствием или отсутствием штиля и флажков.
Так, головка целой и половинной ноты имеет белый цвет, всех остальных нот — черный цвет. У всех этих нот, за исключением целой, имеется штиль. Восьмая нота имеет один флажок, шестнадцатая — два, тридцать вторая — три и шестьдесят четвертая — четыре. Каждой ноте соответствует относительная длительность, обозначаемая числом 2n где n расположено на интервале от 0 до 6.