? – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Ливио Марио

или

s₁ – d₂ = s₂.

Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s₁ и d₁ представляет собой также общую меру для d₂, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s₂. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s₁ и d₁,

измеряет также s₂ and d₂. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s₁ и d₁ несоизмеримы.

Приложение 3

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию. У треугольника TBC основание BC равно 2а, а высота ТА равна с. Следовательно, площадь треугольника равна с x а. Мы хотим показать, что если квадрат высоты пирамиды h² равен площади ее треугольной стороны s x a, то s/a равно золотому сечению.

Дано, что

h² = sx a.

Применив теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику TOA, получаем

s² = h² + a².

Теперь подставим значение h² из первого равенства и получим

s² = sx a + a².

Разделим обе части на a² и получим

(s/a)² = (s/a)+ 1.

Иными словами, если мы обозначим s/a как x, у нас получится квадратное уравнение

x² = x+ 1.

В главе 4 показано, что именно это уравнение и описывает золотое сечение. 

Приложение 4 

Одна из теорем в «Началах» доказывает, что если у двух треугольников одинаковые углы, эти треугольники подобны. А это значит, что форма у этих треугольников совершенно одинаковая и длины сторон соответственно пропорциональны. Если одна сторона одного треугольника вдвое длиннее соответствующей стороны второго треугольника, то это справедливо

и по отношению к остальным сторонам.

Треугольники ADB и DBC подобны, поскольку у них одинаковые углы. Следовательно, отношение AB/DB, то есть отношение сторон треугольников ADB и DBC, равно DB/BC, то есть отношению оснований этих треугольников.

AB/DB= DB/BC.

Однако эти треугольники также равнобедренные, поэтому

DB= DC= AC.

Из вышеприведенных равенств следует, что

AC/BC= AB/AC,

Что означает (согласно определению Евклида), что точка C делит отрезок AB в золотом сечении. Поскольку AD = AB и DB = AC, получаем также, что AD/DB = .

Приложение 5

Квадратные уравнения – это уравнения, имеющие вид

ax² + bx+ c= 0,

где a, b, c – произвольные числа. Например, в уравнении 2x² + 3x+ 1 = 0 имеем a = 2, b = 3, c = 1.

Общая формула для поиска двух корней уравнения:

В вышеприведенном примере

В уравнении, описывающем золотое сечение,

x² – x – 1 = 0,

a = 1, b = –1, c = –1, следовательно, корни:

Приложение 6

Задачу о дележе наследства можно решить следующим образом. Обозначим все наследство как E, а долю каждого из сыновей в безантах – как x (по условию, все они делят наследство поровну).

Первый сын получил

Второй сын получил