Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением
Шрифт:
горшков риса. Только теперь до магараджи дошло, что мудрец запросил очень много риса, ибо 128 горшков риса соответствовали одному тяжелому, 50-килограммовому мешку. Теперь потребные количества риса приходилось отмерять именно такой мерой. Для восьми клеток четвертого ряда вышло
полновесных стокилограммовых мешков риса. Последней восьмой клетке соответствовало количество риса, которого хватило бы на полную загрузку каравана из дюжины запряженных быками телег.
Урожай риса в стране магараджи был в тот год просто феноменально велик, и он надеялся, что ему хватит риса, чтобы расплатиться с мудрецом. Однако прикинув, сколько риса потребуется для того, чтобы заполнить клетки пятого ряда, магараджа сдался. В его государстве просто не хватило бы для этого риса.
Мудрец знал это – во всяком случае, приблизительно. Для того чтобы оценить, сколько рисовых зерен потребуется для заполнения всех клеток шахматной доски, мудрец воспользовался свойствами цифры
Таким образом, на одиннадцатой клетке оказалось 1024 зернышка. Будем щедрыми, и округлим это число с недостатком до 1000 зернышек. Тогда для следующих десяти клеток мы получим следующий ряд чисел:
каждое из которых надо умножить на тысячу. Если мы, проявив неслыханную щедрость, снова округлим последнее число до 1000, то на двадцать первой клетке окажется больше 1000 x 1000 = 1 000 000 = 106 зерен. То же самое будет происходить и дальше: еще через десять клеток, на тридцать первой из них, уже окажется больше 1000 x 106 = 109 зерен; на сорок первой клетке получится больше 1000 x 109 = 1012 зерен; на пятьдесят первой клетке будет уже 1000 x 1012 = 1015 зерен, а на шестьдесят первой клетке мы получим больше 1000 x 1015 = 1018 зерен. Это уже больше одного квинтиллиона рисовых зерен. На шестьдесят второй, шестьдесят третьей и шестьдесят четвертой клетках будет, соответственно, больше двух, четырех и восьми квинтиллионов рисовых зерен.
Таким образом, на всей шахматной доске окажется больше 16 квинтиллионов зерен. Для любящих точность {3} скажу, что сумма всех этих чисел на шахматной доске равна 18 446 744 073 709 551 615!
Чем же закончилась эта история о мудреце и магарадже? Этого мы не знаем. Возможно, что потрясенный магараджа, поняв, что не сумеет все же набрать и больше 16 квинтиллионов зерен риса, сказал мудрецу:
– Ты не сможешь спрятать столько зерна в своем убежище в горах и даже перевезти его туда, даже если я дам тебе всех своих слуг!
3
Иногда люди думают, что математика отличается от прочих наук тем, что в ней все результаты можно вычислять с достоверной точностью. Однако это ни в коем случае не верно. Часто бывает достаточно знать приближенное значение результата для того, чтобы верно его оценить. Во всяком случае, достаточно сильно впечатляет, что приведенное в тексте простое рассуждение позволяет оценить порядок величины числа рисовых зерен на шахматной доске, не прибегая к утомительным многочасовым вычислениям и сложной компьютерной технике.
Тот, кто все же хочет знать точный результат, должен принять во внимание следующее соображение: каждый раз, когда мы заменяем число 1024 числом 1000 = 10^3, то есть удобным для вычислений приближением, мы допускаем ошибку, составляющую 2,4 процента от точной величины. Эту ошибку в ущерб числу рисовых зерен мы совершаем на 11, 21, 31, 41, 51 и 61-м поле, то есть в шести пунктах шахматной доски. Таким образом, разница между грубо прикинутым количеством риса и точным числом рисовых зерен, которые надо высыпать на доску, составляет 6 x 2,4 = 14,4 %, то есть это величина относительной разницы между 16 квинтиллионами зерен и точным числом. 15 процентов от шестнадцати составляет 2,4, то есть 15 процентов от 16 квинтиллионов составляют 2,4 квинтиллиона, которые и надо прибавить к этому количеству, и в результате мы получим те же 18,4 квинтиллиона зерен.
Вооружившись высокопроизводительной вычислительной машиной, можно сложить 64 числа, каждое из которых получается в результате удвоения предыдущего числа, начиная с единицы. Результат в точности равен:
то есть 18 квинтиллионам 446 квадриллионам 744 триллионам 73 миллиардам 709 миллионам 551 тысяче 615 рисовым зернам. Надо заметить, что существует более простой способ получения такого же точного результата: сумма всех предыдущих чисел равна удвоенному значению последнего числа минус единица. Вот, например, сумма зерен в первом ряду шахматной доски:
Это значит, что для того, чтобы получить сумму всех зерен на шахматной доске, надо возвести два в 64 степень, и из полученного результата
вычесть единицу.
– Ты прав, это немыслимо, – ответствовал мудрец. – Из этого риса получилась бы огромная пирамида, наподобие пирамид в Гизе, в далеком Египте. Но моя пирамида получилась бы несравненно выше – не 140 метров, как пирамида Хеопса, а почти пять километров. Пирамида из риса могла бы вместить 40 тысяч пирамид Хеопса.
После этого в зале повисло долгое молчание, а потом мудрец обратился к властителю:
– Для меня, о великий магараджа, большой наградой стала возможность не только научить тебя игре в шахматы, но и показать, какая мощь кроется за большими числами, и я вполне удовольствуюсь такой наградой.
С этими словами мудрец поклонился и покинул зал, дворец и страну магараджи.
Самые
От малых чисел к большим
Никто точно не знает, как появились числа в первобытные, доисторические времена. Но можно с полной уверенностью утверждать, что первыми открытыми человеком числами стали не один и не два. Люди не могли считать единицами и двойками. Два одинаковых предмета человек воспринимал как пару. Для того чтобы сосчитать эти предметы, человеку не надо было тыкать в них пальцами со словами: «Один, два». Вероятно, «три» было первым и поначалу единственным числом. Первобытный человек видит пару предметов и еще один присоединенный к ней предмет. Таким образом, «три» – это «пара плюс один». Судя по всему, человеку, стоявшему лишь на пороге мышления, стоило большого труда умственно постичь суть этой операции. Три было для него очень много; недаром во французском языке родственны между собой слова tr`es, обозначающее «очень», и trois, обозначающее «три». Четвертый предмет превосходил воображение человека каменного века. Такое количество уже обозначали словом «много». С такой точки зрения можно думать, что три в те незапамятные времена было не только первым, но и самым большим числом. Первобытный человек считал так: «одна пара и еще один: три». Потом он считал, как в известной песенке: «Один, два, три». По ритмике эта фраза, наверное, напоминала спортивную команду: «На старт, внимание, марш!» С выражением «один, два, три» наряду с древним словом «три» родились числа один и два.
Однако самое позднее в неолите, когда человек обзавелся домашними животными, он был уже вынужден считать за пределами тройки. Тот, кто не умел считать, рисковал не заметить убыль овечьей отары или пропустить приплод. У таких ротозеев прятавшиеся в соседнем лесу воры могли невозбранно воровать скот до тех пор, пока у несчастного не оставалось всего три овцы. Это была уже настоящая экономическая катастрофа, и, чтобы ее избежать – и просто выжить, – надо было уметь считать.
Люди, по крайней мере пастухи, должны были уметь сравнить число овец в стаде с числом промежутков между пальцами кистей. Такому пастуху можно было доверить стадо численностью до восьми голов. Новым открытием стало то обстоятельство, что, как выяснилось, считать можно и дальше восьми. Новое число после восьми так и назвали [6] . То же самое мы видим и в латинском языке: novem и novum. Во французском языке словом neuf обозначают и «новый» и «девять». С тех пор первобытные люди начали считать не промежутки между пальцами, а кончики пальцев. Самым большим числом стало число 10.
6
«Девять» по-немецки – neun. Это слово похоже на слово neu – «новый» и, вероятно, родственно ему. – Примеч. перев.
Но дело на этом не закончилось. Для счета стали применять и другие части тела, помимо пальцев рук. Похоже, что в некоторых племенах наряду с пальцами рук стали использовать при счете и пальцы ног, и таким образом люди добрались до числа 20. Отзвуки такого счета мы находим во французском языке: обозначение числа 80, quatre-vingt, буквально означает «четыре-двадцать», то есть четыре свертка по двадцать предметов. Число 99 во французском языке обозначают так: quatre-vingt-dix-neuf, то есть буквально «четыре-двадцать-десять-девять».
Состоятельные люди считали даже за пределами сотни:
Кто из вас, имея сто овец и потеряв одну из них, не оставит девяноста девяти в пустыне и не пойдет за пропавшею, пока не найдет ее?
А найдя, возьмет ее на плечи свои с радостью и, придя домой, созовет друзей и соседей и скажет им: порадуйтесь со мною, я нашел мою пропавшую овцу [7] .
Рассказывая эту притчу, Иисус, вероятно, представлял себе весьма сведущего в счете пастуха, ибо, глядя на стадо, трудно решить, сто в нем овец или только девяносто девять. Но Иисус, конечно, говорил не о точном числе овец. История потеряла бы свою остроту, если бы Иисус, допустим, сказал, что у кого-то было 42 овцы и одна из них потерялась. Число 42 – почему же Он выбрал именно его? – отвлекло бы слушателей от смысла, который намеревался поведать им даровитый автор притч. Число же 100 было синонимом понятия «очень много».
7
Лк. 15: 4 –6.
Однако намного больше ста раз должен прощать человек своего ближнего:
Тогда Петр приступил к Нему и сказал: Господи! сколько раз прощать брату моему, согрешающему против меня? до семи ли раз?
Иисус говорит ему: не говорю тебе: до семи раз, но до седмижды семидесяти раз [8] .
Спаситель наверняка отлично знал, что Петру было трудно умножить семь на семьдесят. Но допустим, что Петру это удалось. Любой человек может легко представить себе семь актов прощения, и, простив брата семь раз, он мог бы с чувством выполненного долга решить, что теперь с прощением покончено. Но только умалишенный будет носить с собой список из семижды семидесяти актов прощения и ставить галочку после каждого до тех пор, пока не кончится список из четырехсот девяноста прощений.
8
Мф. 18: 21, 22.