Десять великих идей науки. Как устроен наш мир.

Эткинз Питер

Когда мы думаем о пространствах, вложенных в пространства более высокой размерности, мы встаем на точку зрения надменного сверхсущества, которое может судить на глазок, имеется ли тут кривизна. Предположим, однако, что мы муравьи, и наше воображение ограничено реальным пространством, в котором мы обитаем: может ли муравей узнать, искривлена ли Земля, можем ли мы определить, искривлено ли наше пространство-время? Ответ уже следует из текущего обсуждения, поскольку путешествия, которые вы и я предприняли, и вопрос о том, столкнемся ли мы с вами нос к носу или нет, можно представить себе имеющими место на поверхности, независимо от того, считаем мы ее во что-то вложенной или нет. Таким образом, если вы и я отправляемся по двум параллельным с виду путям и сталкиваемся носами, то мы знаем, что пространство, в котором мы пребываем, имеет положительную кривизну. Это заключение не зависит от того, можем ли мы вообразитьнаше пространство вложенным в пространство более высокой размерности или нет.

Мы

можем развить эту мысль дальше и научиться измерять кривизну пространства количественно. Пойдемте со мной на Северный полюс (рис. 9.15). Теперь, когда мы здесь, давайте вытянем, каждый, по одной руке, указывая ею вниз прямо на юг, на Гринвич, вдоль меридиана 0°. Свисток, и вы отправляетесь на юг и идете, пока не достигнете экватора. Продолжая указывать рукой на юг, вы идете вдоль экватора, пока не достигнете 90° восточной долготы. Из этой точки, все еще показывая рукой на юг, вы возвращаетесь на Северный полюс. Я, в свою очередь, наблюдаю, как вы появляетесь из-за горизонта. Однако, к нашему общему огромному удивлению, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей, несмотря на то, что вы педантично указывали ею строго на юг на протяжении всего вашего путешествия! В плоском пространстве направления, наших рук совпадали бы, поэтому мы заключаем, что реальная поверхность Земли плоской не является. Более того, мы можем описать количественную меру «кривизны» как изменение угла, на который повернута ваша рука, деленное на площадь области, ограниченной вашим маршрутом, что дает 1 / радиус ², где радиусявляется радиусом Земли. Так как радиус Земли равен 6400 км, кривизна ее поверхности составляет 2,4x10 ^{– 8} км ^{– 2}. Это очень маленькая кривизна, указывающая на то, что нам придется делать обход очень большой площади, для того чтобы эффект стал заметным. Вот почему землемеры Хаммурапи не замечали ее: поля, которые они измеряли в Месопотамии, имели площади лишь в несколько тысяч квадратных метров, и кривизна Земли просто не могла быть видна. Кривизна футбольного мяча с радиусом 10 см равна 0,01 м ^{– 2}, так что эта кривизна становится заметной на областях его поверхности, занимающих довольно небольшую площадь. Для сферы кривизна будет оставаться одинаковой, где бы мы ни начали наше путешествие и какую бы площадь мы ни обошли. Кроме того, кривизна на ней всюду положительна. Куриное яйцо также всюду имеет положительную кривизну, но ее значения меняются примерно от 0,2 см ^{– 2}на тупом конце до 0,4 см ^{– 2}на более круто искривленном остром конце.

Рис. 9.15.Кривизну поверхности можно измерить, не прибегая к представлению о вложении ее в пространство более высокой размерности. Наш подход заключается в совершении обхода вокруг точки, в которой измеряется кривизна, и в измерении разницы углов между линиями фиксируемого во время обхода направления. Например, если, как здесь показано, мы стоим на Северном полюсе, а наши руки указывают на юг, и вы идете к экватору по меридиану 90° западной долготы, затем вдоль экватора до гринвичского меридиана и возвращаетесь на Северный полюс, на протяжении всего путешествия держа руку повернутой к югу. Когда вы прибываете, мы обнаруживаем, что ваша рука повернута на 90° относительно моей. Из этого наблюдения мы можем сделать вывод, что кривизна этой поверхности равна 1 / радиус ², где радиусявляется радиусом сферы.

У нас нет необходимости совершать путешествия по поверхностям реальной материальной Земли, футбольного мяча или яйца, чтобы вычислить кривизну. Если бы я оставался на месте, а вы бы путешествовали в пустом пространстве по замкнутой петле и в конце вашего путешествия мы увидели бы, что наши руки указывают в одном направлении, мы были бы вправе заключить, что эта область пространства является плоской и евклидовой. Если бы мы увидели, что между нашими руками есть угол, мы заключили бы, что эта область пространства искривлена и поэтому неевклидова. В этом случае относительное положение наших рук показало бы знак и величину кривизны данной области пространства. В общем случае, путешествие по разным областям пространства может давать разные результаты. Мы даже можем обнаружить, что различные ориентации петлеобразных путешествий вокруг одной и той же точки приводят к разным результатам. Это род эксперимента, который мы могли бы проделать, чтобы определить, геометрия какого рода преобладает в данной области пространства.

Мы нуждаемся еще в одном понятии, прежде чем получим возможность вполне оценить свойства искривленного пространства. Геодезическойназывается путь через пространство, который не отклоняется ни вправо ни влево. Геодезической в плоском пространстве является прямая линия. Значительная часть геометрии Евклида касается свойств фигур (таких, как треугольник и четырехугольник), построенных из отрезков геодезических — прямых линий — на плоскости. В некоторых

видах пространств кратчайшим расстоянием между двумя точками является длина геодезической, соединяющей эти точки. На поверхности сферы геодезические проходят по большим кругам. Например, если мы путешествуем вдоль линии определенной долготы (такой, как гринвичский меридиан), то мы следуем по геодезической между двумя положениями с одной и той же долготой. Если две точки имеют разные широту и долготу, как Лондон и Нью-Йорк, кратчайшее расстояние между ними проходит по меньшей дуге большого круга, проходящего через них. Вообще говоря, коммерческие авиалинии проходят по геодезическим, соединяющим пункты вылета и назначения.

Настало время сделать шаг от искривленного пространства к искривленному пространству-времени. Этот шаг не столь травмирует, как можно было бы ожидать, поскольку большую часть необходимых понятий можно импортировать из нашего обсуждения искривленного пространства. Чтобы вообразить искривленное пространство-время, мы можем представить себе двумерное пространство с одной пространственной размерностью и одной временной, вложенное в трехмерное пространство, точно так же, как мы представляли себе двумерное пространство. Если пространство-время является плоским, геодезические представляют собой прямые линии на двумерной поверхности. Однако из забавной геометрии пространства-времени следует, что геодезическая, соединяющая две точки, соответствует наибольшему расстоянию между ними (вспомним Кастора и Поллукса). Искривленное двумерное пространство-время можно изобразить в виде изогнутого листа в трехмерном пространстве. Так же как в плоском пространстве-времени, геодезические — которые теперь могут извиваться по пространству в зависимости от его локальной структуры — соответствуют самым длинным интервалам между точками, которые они соединяют.

Теперь мы подошли к труднейшему месту всего обсуждения. В этой точке мы соединим вместе все предыдущие концепции. Великая идея, высказанная Эйнштейном в 1915 г., звучала так: масса искривляет пространство. Его величайшим достижением стало обнаружение точной связи между детализированной кривизной пространства-времени и распределением массы. У меня нет возможности представить вам точно эту связь, которая является одной из наиболее элегантных, хотя и сложных связей во всей науке. Однако было бы нехорошо с моей стороны, заставив вас столько потрудиться, чтобы дойти до этого места, бросить вас тут на мели. Поэтому я сделаю две вещи. Во-первых, я дам вам отдаленное представление о форме результата Эйнштейна. Затем я расскажу о некоторых его следствиях.

Здесь я должен просить вас вообразить куб со слегка искривленными сторонами, как если бы вы взяли куб, сделанный из резины, и встали на него так, что его края выпучились. В дополнение к этому я должен просить вас представить себе, что этот куб находится в пространстве-времени, а не просто в пространстве. Если быть вполне честным, надо отметить, что представление об обычном пространственном кубе является почти достаточным для передачи сути того, что я хочу сказать, поэтому не стесняйтесь, если вы невольно вернетесь к этому образу. Однако имейте в виду, что на самом деле нам следует разговаривать в терминах пространства-времени, а не в терминах пространства.

Вспомним четырехмерный куб, обсуждавшийся нами ранее (рис. 9.4 ). С этого момента мы будем представлять себе ребра, образующие куб, идущими вдоль геодезических линий области пространства, которую мы рассматриваем. Это значит, что мы должны представлять себе грани немного повернутыми и наклоненными, но таким образом, чтобы они правильно соответствовали друг другу при складывании для образования гиперкуба. Представьте себе, что наш тщательно склеенный гиперкуб посещают массы, находящиеся в его окрестности. Смысл кубов остается тем же самым: содержимое времени-подобных кубов (изображающее историю входов и выходов через поверхность реального ящика) представляет втекание и вытекание массы сквозь различные стенки области, находящейся в ящике, а два пространственно-подобных куба (ящики в начале и в конце рассматриваемого временного периода) представляют полную массу, находящуюся в ящике, в начале и в конце. «Полевые уравнения» Эйнштейна «всего лишь» устанавливают, что повороты и наклоны граней восьми кубов, конструирующих гиперкуб, пропорциональны полной массе внутри каждого из них. Это, по сути, и есть общая теория относительности.

Полевое уравнение Эйнштейна просто записать (при использовании достаточно богатого символического языка), но исключительно трудно решить. Тем не менее одно решение было найдено в течение нескольких месяцев после его первого появления в печати. Одним из немногих положительных событий во время Первой мировой войны было то, что служивший в России немецкий математик Карл Шварцшильд (1873-1916) нашел решение для области, лежащей снаружи от массы сферической формы, как, например, космическое пространство вокруг звезды или планеты, и решение внутри сферической однородной массы. Он умер несколько месяцев спустя, освобожденный от военной службы и пораженный редким кожным заболеванием, но термины решение Шварцшильдаи радиус Шварцшильдадали ему подлинное бессмертие. Еще одно решение было найдено в 1934 г. Х.П. Робертсоном и Д.Г. Уолкером для пространства-времени всех изотропных, однородных равномерно расширяющихся моделей Вселенной.