Диалектический материализм

Энгельс Фридрих

Противоречие в математике

Переход к диалектике. Два философских направления: метафизическое с неизменными категориями, диалектическое (Аристотель и в особенности Гегель) — с текучими; доказательства, что эти неизменные противоположности основания и следствия, причины и действия, тожества и различия, бытия и сущности не выдерживают критики, что анализ показывает наличие одного полюса уже in nuce [В зародыше. — Ред.] в другом, что в определенном пункте один полюс переходит в другой и что вся логика развивается лишь из движущихся вперед противоположностей. Это у самого Гегеля мистично, ибо категория является у него чем-то предсуществующим, а диалектика реального мира — ее простым отблеском. В действительности происходит наоборот: диалектика головы — только отражение форм движения реального мира, как природы, так и истории. Естествоиспытатели прошлого столетия, даже до 1830 г., довольно легко обходились еще при помощи старой метафизики, ибо действительная наука не выходила еще из рамок механики, земной и космической. Однако путаницу в умы внесла уже высшая математика, которая рассматривает вечные истины низшей математики как превзойденную точку зрения, утверждает часто вещи, противоположные им, и выставляет теоремы, кажущиеся,

с точки зрения низшей математики, простой бессмыслицей. Здесь неизменные категории исчезли, математика вступила на такую почву, где даже столь простые понятия, как «абстрактное количество», «дурная бесконечность», приняли совершенно диалектический вид и заставили математику, против ее воли и без ее ведома, стать диалектической. Нет ничего комичнее, чем жалкие уловки, увертки и фикции, к которым прибегает математика, чтобы разрешить это противоречие, примирить между собою низшую и высшую математику; разъяснить им, что то, что является их бесспорным результатом, не представляет собой чистой бессмыслицы, и чтобы вообще рационально объяснить исходный пункт, метод и конечные результаты математики бесконечного. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 3 — 4, 1932 г.)

Диалектика количества

Оттого, что нуль есть отрицание всякого определенного количества, он не лишен вовсе содержания. Наоборот, нуль обладает весьма определенным содержанием. Будучи границей между всеми положительными и отрицательными величинами, будучи единственным, действительно нейтральным числом, которое не может быть ни + ни —, он представляет не только очень определенное число, но сам по себе важнее всех других ограничиваемых им чисел. Действительно, нуль богаче содержанием, чем всякое иное число. Прибавленный к любому числу справа, он в нашей системе счисления удесятеряет его. Для этого можно было взять вместо нуля любой другой знак, но лишь при том условии, чтобы этот знак, взятый сам по себе, означал нуль = 0. Таким образом, от природы самого нуля зависит то, что он находит такое приложение и что только он один может найти такое приложение. Нуль уничтожает всякое другое число, на которое его умножают; в качестве делителя какого-нибудь числа он делает его бесконечным, в качестве делимого он делает его бесконечно малым; он — единственное число, находящееся в бесконечном отношении к любому другому числу.0 / 0 может выражать любое число между -

 и +

 и представляет в каждом случае действительную величину. Реальное значение какого-нибудь уравнения обнаруживается лишь тогда, когда все члены его перенесены на одну сторону и уравнение приравнено нулю, как это встречается уже в квадратных уравнениях и употребляется почти всегда в высшей алгебре. Можно какую-нибудь функцию f (x, y) приравнять z и потом дифференцировать этот z, хотя он = 0, как обыкновенную зависимую переменную и получить его частную производную.

Ничто от любого количества само еще количественно не определено, и лишь потому можно оперировать нулем. Те самые математики, которые совершенно спокойно оперируют нулем, как выше указано, т. е. как вполне определенным количественным представлением, и ставят его в количественные отношения к другим количественным представлениям, — поднимают страшный вопль, когда находят у Гегеля такое общее положение: ничто от некоторого нечто есть определенное ничто.

Перейдем теперь к аналитической геометрии. Здесь нуль — определенная точка, начиная от которой одно направление по известной прямой считается положительным, а противоположное — отрицательным. Таким образом, здесь нулевая точка не только так же важна, как любая точка с определенным положительным или отрицательным значением, но и гораздо важнее всех их: это точка, от которой все они зависят, к которой все они относятся, которой они все определяются. Во многих случаях она может браться даже совершенно произвольным образом <в других случаях, где сама природа данной задачи ставит ограничения, все-таки остается выбор, по крайней мере, между двумя возможностями>. Но раз она взята, она остается средоточием всей операции, часто даже определяет направление линии, на которую наносятся другие точки, конечные точки абсцисс. Если, например, — переходя к уравнению круга, — мы примем любую точку периферии за нулевую точку, то линия абсцисс должна проходить через центр круга. Все это находит приложение также и в механике, где при вычислении движений принятая нулевая точка является опорным пунктом всей операции. <Произвольно взятая> нулевая точка термометра, — это вполне определенная нижняя граница температурной области, разделяемой на произвольное число градусов и служащей благодаря этому мерой температур как внутри самой себя, так и высших или низших температур. Таким образом, и здесь она является весьма существенной точкой. И даже абсолютный нуль термометра не представляет вовсе чистого абстрактного отрицания, а очень определенное состояние материи, именно границу, у которой исчезает последний след самостоятельного движения молекул и материя действует только в виде массы. Таким образом, где бы мы ни встречались с нулем, он повсюду представляет собой нечто очень определенное, и его практическое применение в геометрии, механике и т. д. показывает, что в качестве границы он важнее, чем все реальные, ограничиваемые им величины. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 115 — 117, 1932 г.)

Асимптоты

Асимптоты. Геометрия начинает с открытия, что прямое и кривое представляют абсолютные противоположности, что прямого нельзя совершенно выразить в кривом, кривого в прямом, что они несоизмеримы между собой. И однако уже круг можно вычислить лишь в том случае, если выразить его периферию в виде прямых линий. В случае же кривых с асимптотами прямое совершенно растворяется в кривом и кривое в прямом; точно так же исчезает и представление о параллелизме: линии не параллельны, непрерывно приближаются друг к другу и все-таки никогда не пересекаются. Ветвь кривой становится все прямее, не делаясь никогда окончательно прямой. Точно так же в аналитической геометрии прямая линия рассматривается как кривая первого

порядка с бесконечно малой кривизной. Сколь бы большим ни сделалось – x логарифмической кривой, y никогда не станет = 0. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Притяжение и отталкивание

Ньютонов параллелограмм сил в солнечной системе истинен, несомненно, для того момента, когда кольца отделяются, потому что вращательное движение приходит здесь в противоречие с самим собой, являясь, с одной стороны, в виде притяжения, а с другой — в виде тангенциальной силы. Но лишь только произошло это отделение, движение опять является доказательством диалектического процесса, — доказательством того, что это обособление должно произойти. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 33, 1932 г.)

Единство и многообразие

Нулевые степени. Их значение в логарифмическом ряду:

.

Все переменные переходят где-нибудь через значение единицы, поэтому также и константа какой-нибудь переменной степени, a^x = 1, когда x = 0. a⁰ = 1 означает попросту, что единицу надо взять в связи с другими членами ряда степеней a. Только в этом случае это имеет смысл и может дать полезные результаты

, в противном случае — нет. Отсюда следует, что и единица, как бы она ни казалась тожественной самой себе, заключает в себе бесконечное многообразие, ибо она может быть нулевой степенью любого другого числа; а что это многообразие отнюдь не мнимое, обнаруживается во всех случаях, когда единица рассматривается как определенная единица, как один из переменных результатов какого-нибудь процесса (как моментальная величина или форма некоторой переменной) в связи с этим процессом. (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31, 1932 г.)

Прямое и кривое

Прямое и кривое. В дифференциальном исчислении они в конечном счете приравниваются друг к другу. В дифференциальном треугольнике, гипотенузой которого является дифференциал дуги (в методе касательных), эту гипотенузу можно рассматривать «как маленькую прямую линию, являющуюся одновременно элементом дуги и элементом касательной», независимо от того, рассматривают ли кривую как состоящую из бесконечно многих прямых линий или также [Цитата приводится по-французски.] «как строгую кривую, ибо так как искривление в каждой точке М бесконечно мало, то последнее отношение элемента кривой к элементу касательной есть, очевидно, отношение равенства». Итак, хотя здесь отношение непрерывно приближается к отношению равенства, но приближается по природе кривой асимптотическим образом, так как соприкасание ограничивается не имеющей длины точкой, однако в конце концов принимается, что достигнуто равенство кривой и прямой. Bossut, Calcul diff. et. int. Paris, An VI, I, стр. 149. В случае полярных кривых дифференциально мнимая абсцисса рассматривается даже как параллельная реальной абсциссе, и на этой основе производят действие, хотя обе пересекаются в полюсе; отсюда даже умозаключают о подобии двух треугольников, из которых один имеет угол как раз в точке пересечения обеих линий, на параллелизме которых основывается все подобие!..

Когда таким образом исчерпывается математика прямого и кривого, то открывается новое, почти безграничное поприще, т. е. математика, которая рассматривает кривое как прямое (дифференциальный треугольник), и математика, которая рассматривает прямое как кривое (кривая первого порядка с бесконечно малой кривизной). О, метафизика! [Этот абзац написан позже на полях.] (Энгельс, Диалектика природы, стр. 31 — 32, 1932 г.)

Взаимопроникновение арифметических действий

Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, являющимися элементами всей математики. И, однако, умножение является сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в известном случае — если делитель есть дробь — деление заменяется умножением на обратную дробь. В алгебре идут еще дальше этого. Каждое вычитание (a-b) можно рассматривать как сложение (-b+a), каждое деление a / b как умножение a x 1 / b. При действиях со степенями идут еще дальше. Все неизменные различия способов вычисления исчезают, все можно изобразить в противоположном виде. Степень — в виде корня

, корень — в виде степени

. Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя

.

Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и представить в виде степени всякого другого числа (логарифмы, ). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, — это один из самых могучих рычагов математического знания, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Достаточно только вычеркнуть из математики отрицательные и дробные степени, чтобы убедиться, что без них далеко не уйдешь.