Диалоги (август 2003 г.)

Гордон Александр Гарриевич

Итак, нужно воспользоваться новым математическим исчислением кортов, которое оперировало бы не с отдельными элементами, а с конечными множествами – кортами. Заметьте – в современной физике никто не рассматривает одновременно множество разных физических объектов. Современная наука занимается рассмотрением отдельных физических объектов и отдельных явлений.

При этом мне вспоминается моя последняя и единственная встреча с академиком Владимиром Александровичем Фоком, к которому я приехал в 1970 году в Ленинград, чтобы рассказать ему о своих работах по Теории физических структур и, в частности, о

новой точке зрения на закон Ньютона.

Он встретил меня весьма доброжелательно, пригласил к себе домой и приготовился внимательно выслушать меня. Но когда я сказал:

– Рассмотрим два тела и две пружинки и измерим четыре ускорения …

Здесь он перебил меня:

– Простите, о чём идёт речь? о механике материальной точки? или о механике системы, состоящей из двух материальных точек?

Я ответил:

– Речь идёт о механике материальной точки, то есть о новой точке зрения на закон Ньютона.

– Но почему же вы рассматриваете два тела? Нет, я вас не понимаю! – и выключил свой слуховой аппарат, дав понять тем самым, что дальнейший разговор на эту тему лишён для него всякого смысла.

Действительно, очень трудно взглянуть на хорошо известную ещё с детства механику с существенно иной, непривычной точки зрения.

Чтобы объяснить, что такое корт, я начну, пожалуй, с наиболее наглядного примера.

Что такое физический закон? Не закон Ньютона и не закон Ома, а физический закон вообще? Чтобы ответить на этот вопрос, начнём с простейшего примера – с законов, лежащих в основании геометрии евклидовой прямой, геометрии евклидовой плоскости и геометрии трёхмерного евклидова пространства.

Возьмём две произвольные точки, лежащие на прямой, – двухточечный корт (корт – сокращённая форма слова кортеж. Кортеж – конечная последовательность элементов какого-либо множества), и измерим расстояние между ними. Это расстояние ничем не ограничено и может меняться от нуля до бесконечности. Никакого закона ещё нет.

Но если мы возьмём трёхточечный корт и измерим три расстояния между его тремя точками, то мы столкнёмся с качественно новой ситуацией. Три точки на прямой можно рассматривать как вершины «сплюснутого» треугольника, площадь которого равна нулю при любом расположении точек. Но с другой стороны, площадь треугольника зависит от длин трёх его сторон (формула Герона). Следовательно, между тремя расстояниями существует определённая связь, которая и есть простейший закон одномерной евклидовой геометрии.

Рассмотрим теперь трёхточечный корт на евклидовой плоскости и измерим три расстояния между его тремя точками. В этом случае площадь треугольника может меняться от нуля до бесконечности и, следовательно, между тремя расстояниями нет никакой связи.

Но если мы рассмотрим четырёхточечный корт и измерим шесть расстояний между его четырьмя точками, то мы столкнёмся с ситуацией, подобной той, которая наблюдалась на прямой. А именно, четыре точки на плоскости можно рассматривать как вершины «сплюснутого» тетраэдра, объём которого равен нулю при любом расположении точек. Но с другой стороны, объём тетраэдра зависит от длин его шести рёбер (формула Тартальи). Следовательно, между шестью расстояниями между четырьмя точками, произвольно расположенными на плоскости, имеет место вполне определённая связь,

которая и есть простейший закон двумерной евклидовой геометрии.

Рассмотрим теперь четырёхточечный корт в трёхмерном евклидовом пространстве и измерим шесть расстояний между его четырьмя точками. В этом случае объём тетраэдра может меняться от нуля до бесконечности и, следовательно, между шестью расстояниями нет никакой связи.

Но если мы рассмотрим пятиточечный корт и измерим десять расстояний между его пятью точками, то мы обнаружим существование вполне определённой связи между десятью расстояниями пятиточечного корта. Эта связь и есть простейший закон трёхмерной евклидовой геометрии.

Аналогичным свойством возникновения закона при достижении векторного корта определённой длины обладает множество векторов в n-мерном линейном пространстве: если длина корта меньше или равна размерности линейного пространства, то векторы этого корта линейно независимы и между их скалярными произведениями нет никакой связи; если же длина векторного корта больше размерности линейного пространства, то векторы этого корта линейно зависимы и между их скалярными произведениями есть вполне определённая связь (обращение в ноль определителя Грама). А это и есть простейший закон, которому подчиняются векторы n-мерного линейного пространства.

Однако множества точек евклидовой прямой, евклидовой плоскости и трёхмерного евклидова пространства обладают ещё одним замечательным свойством.

Если в случае евклидовой прямой взять не один трёхточечный корт, как в предыдущем случае, а два произвольных трёхточечных корта и измерить девять расстояний между каждой точкой первого корта и каждой точкой второго корта, то все эти девять расстояний окажутся связанными между собой одним вполне определённым соотношением, которое является фундаментальным законом, лежащим в основании одномерной евклидовой геометрии.

Точно так же поступим в случае евклидовой плоскости. Рассмотрим два произвольных четырёхточечных корта и измерим шестнадцать расстояний между каждой точкой первого корта и каждой точкой второго корта. Можно показать, что все эти шестнадцать расстояний связаны между собой одним вполне определённым соотношением, которое является фундаментальным законом, лежащим в основании двумерной геометрии.

В случае трёхмерного евклидова пространства рассмотрим два произвольных пятиточечных корта и измерим двадцать пять соответствующих расстояний. Можно показать, что все эти расстояния связаны между собой одним соотношением, представляющим собой фундаментальный закон, лежащий в основании трёхмерной евклидовой геометрии.

Итак, мы можем сказать, что фундаментальный закон, лежащий в основании n-мерной евклидовой геометрии, представляет собой определённый вид отношений между двумя (n+2)-точечными кортами.

В случае векторной алгебры мы можем сказать почти то же самое: фундаментальный закон, лежащий в основании n-мерного векторного пространства, представляет собой определённый вид отношений между двумя (n+1)-векторными кортами.

Если мы перейдём от евклидовой геометрии и векторной алгебры к рассмотрению фундаментальных физических законов, лежащих в основании самых различных разделов физики, то мы всюду обнаружим одно и то же: